Calcule o máximo e o mínimo absolutos (se existir) da função dada no intervalo especificado:
f(x) = 3*x^4 + 8*x^3 - 10 0 <= x <= 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo onde precisamos encontrar o máximo e o mínimo absoluto da função no intervalo de a . Isso significa que vamos descobrir os maiores e menores valores que essa função alcança nesse intervalo específico. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas e análise de funções.

Passo 2

Primeiro, para encontrar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos, a gente precisa calcular a derivada da função. A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, como ela está subindo ou descendo em cada ponto. Quando a derivada é zero, a função pode ter um ponto de máximo ou mínimo.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de :
Então, a derivada de é .

Passo 4

Agora, queremos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde :
Podemos fatorar essa equação:
Isso nos dá duas soluções:
No entanto, nosso intervalo é de a , então está fora desse intervalo e não será considerado. Portanto, nosso único ponto crítico relevante é .

Passo 5

Agora, vamos avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo:
  1. Em :
  1. Em :

Passo 6

Agora, com os valores calculados:
Comparando esses valores, podemos ver que o menor valor da função no intervalo é -10 e o maior valor é 449.

Resposta

O mínimo absoluto da função no intervalo é e o máximo absoluto é .

Exercícios relacionados

Calcule o máximo e o mínimo absolutos (se existir) da função dada no intervalo especificado:
f(x) = x^2 / (x + 1), 1/2 <= x <= 1.
Em cada item, calcule integral duplaD f(x, y) d A, em que D=[x1, x2] times[y1, y2].
f(x, y)=x e^xy ; D=[0,1] times[1,2].
Obs.: Note que em c) e d) f pode ser escrita como um produto de funções de uma variável.
Calcule o máximo e o mínimo absolutos (se existir) da função dada no intervalo especificado:
f(x) = -2 x^3 + 3 x^2 + 12 x - 5 -3 <= x <= 3.
Em cada item, calcule integral duplaD f(x, y) d A, em que D=[x1, x2] times[y1, y2].
f(x, y)=1+8 x y ; D=[0,1] times[1,2].