Em cada item, calcule integral duplaD f(x, y) d A, em que D=[x1, x2] times[y1, y2].
f(x, y)=1+8 x y ; D=[0,1] times[1,2].

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral dupla de sobre a região . Isso significa que vai de 0 a 1 e vai de 1 a 2. Para resolver, vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar integral0^1 (1 + 8xy) , dx = [ x + 4x^2y ]0^1 em relação a . A integral de em relação a é simplesmente , e a integral de em relação a é (porque ). Então, a integral em relação a fica:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de [ 1 + 4(1)^2y ] - [ 0 + 4(0)^2y ] = 1 + 4y e :
Então, a integral em relação a simplifica para .

Passo 4

Agora, precisamos integrar o resultado integral1^2 (1 + 4y) , dy = [ y + 2y^2 ]1^2 em relação a , no intervalo de 1 a 2. A integral de em relação a é , e a integral de em relação a é . Assim, temos:

Passo 5

Vamos avaliar essa expressão nos limites de [ 2 + 2(2)^2 ] - [ 1 + 2(1)^2 ] = [ 2 + 8 ] - [ 1 + 2 ] = 10 - 3 = 7 e :

Resposta

A integral dupla sobre a região é igual a 7.

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