Calcule o máximo e o mínimo absolutos (se existir) da função dada no intervalo especificado:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor máximo e mínimo absoluto da função
no intervalo de
a
. Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas para achar os pontos críticos onde a função pode atingir esses valores extremos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são máximo e mínimo absolutos. O máximo absoluto é o maior valor que a função atinge no intervalo, e o mínimo absoluto é o menor valor. Para encontrar esses valores, a gente precisa verificar a função nos pontos críticos e também nas extremidades do intervalo.
Passo 3
Os pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Então, vamos começar calculando a derivada de
.
A derivada de
é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar onde
para achar os pontos críticos.
Resolvendo:
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática:
onde
,
, e
.
Calculando:
Então, temos:
Passo 5
Com os pontos críticos encontrados (
e
), vamos agora avaliar a função
nesses pontos e também nas extremidades do intervalo (
e
).
Calculando:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora, vamos comparar os valores obtidos:
O maior valor é
e o menor é
.
Resposta
No intervalo de
a
, a função
atinge o máximo absoluto de
em
e o mínimo absoluto de
em
.
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.
Em cada item, calcule
, em que
.
.
Determinar se as equações dos Problemas 1 até 8 são ou não são exatas. Para as equações exatas, achar a solução.