Calcule o máximo e o mínimo absolutos (se existir) da função dada no intervalo especificado:
f(x) = -2 x^3 + 3 x^2 + 12 x - 5 -3 <= x <= 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor máximo e mínimo absoluto da função no intervalo de a . Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas para achar os pontos críticos onde a função pode atingir esses valores extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são máximo e mínimo absolutos. O máximo absoluto é o maior valor que a função atinge no intervalo, e o mínimo absoluto é o menor valor. Para encontrar esses valores, a gente precisa verificar a função nos pontos críticos e também nas extremidades do intervalo.

Passo 3

Os pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Então, vamos começar calculando a derivada de f(x).
A derivada de f(x) é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar onde para achar os pontos críticos.
Resolvendo:
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática:
onde , , e .
Calculando:
Então, temos:

Passo 5

Com os pontos críticos encontrados ( e x = 2), vamos agora avaliar a função f(x) nesses pontos e também nas extremidades do intervalo ( e ).
Calculando:
Para :
Para :
Para x = 2:
Para :

Passo 6

Agora, vamos comparar os valores obtidos:
O maior valor é e o menor é .

Resposta

No intervalo de a , a função atinge o máximo absoluto de em e o mínimo absoluto de em .

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