Determinar se as equações dos Problemas 1 até 8 são ou não são exatas. Para as equações exatas, achar a solução. (x ln(y) + x y) dx + (y ln(x) + x y) dy = 0, x > 0, y > 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O que precisamos fazer aqui é verificar se a equação dada é exata. Se for, a gente consegue achar a solução facilmente. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais exatas e como identificar se uma equação é ou não exata.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa equação. Ela está na forma:
Aqui, temos:
Essas são as funções que vão nos ajudar a verificar se a equação é exata.

Passo 3

Para saber se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a . Se essas derivadas forem iguais, então a equação é exata.

Passo 4

Vamos calcular :
A derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é . Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular :
A derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é . Então:

Passo 6

Vamos comparar as duas derivadas:
Para a equação ser exata, essas duas expressões precisam ser iguais para todos os valores de e . Observando bem, vemos que:
Portanto, as derivadas não são iguais.

Passo 7

Como , podemos concluir que a equação dada não é exata. Assim, não podemos encontrar uma solução direta usando o método de equações exatas.

Resposta

A equação não é exata.

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