Determinar se as equações dos Problemas 1 até 8 são ou não são exatas. Para as equações exatas, achar a solução.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O que precisamos fazer aqui é verificar se a equação dada é exata. Se for, a gente consegue achar a solução facilmente. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais exatas e como identificar se uma equação é ou não exata.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa equação. Ela está na forma:
Aqui, temos:
Essas são as funções que vão nos ajudar a verificar se a equação é exata.
Passo 3
Para saber se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
. Se essas derivadas forem iguais, então a equação é exata.
Passo 4
Vamos calcular
:
A derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
em relação a
é
. Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
A derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
em relação a
é
. Então:
Passo 6
Vamos comparar as duas derivadas:
Para a equação ser exata, essas duas expressões precisam ser iguais para todos os valores de
e
. Observando bem, vemos que:
Portanto, as derivadas não são iguais.
Passo 7
Como
, podemos concluir que a equação dada não é exata. Assim, não podemos encontrar uma solução direta usando o método de equações exatas.
Resposta
A equação
não é exata.
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Em cada item, calcule
, em que
.
.
Calcule o máximo e o mínimo absolutos (se existir) da função dada no intervalo especificado:
.
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.
Em cada item, calcule
, em que
.
.