Calcule o máximo e o mínimo absolutos (se existir) da função dada no intervalo especificado:
f(x) = 3x + 75/x + 5, x > 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o máximo e o mínimo absolutos da função no intervalo onde . Para isso, vamos usar Cálculo, especificamente derivadas, para identificar os pontos onde a função pode atingir esses extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função e nos ajuda a encontrar os pontos onde a função pode ter máximo ou mínimo.
A função é:
Vamos derivar cada termo:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é (usamos a regra do poder).
  • A derivada de é .
Então, a derivada fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, onde a derivada é igual a zero ou não existe. Esses pontos são candidatos a serem máximos ou mínimos.
Vamos resolver :
á
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Para determinar se esse ponto crítico é um mínimo ou máximo, vamos usar a segunda derivada da função.
Primeiro, encontramos a segunda derivada :
Agora, avaliamos a segunda derivada em :
Como , isso indica que a função tem um mínimo local em .

Passo 5

Vamos calcular o valor da função nesse ponto para encontrar o mínimo absoluto.
Substituindo na função:
Agora, vamos analisar o comportamento da função quando se aproxima de 0 e de :
  • Quando :
  • Quando :
Isso mostra que não há um máximo absoluto na função, já que ela tende a infinito em ambas as direções.

Resposta

A função tem um mínimo absoluto de 35 no ponto . Não existe um máximo absoluto nessa função para .

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