Calcule o máximo e o mínimo absolutos (se existir) da função dada no intervalo especificado:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o máximo e o mínimo absolutos da função
no intervalo onde
. Para isso, vamos usar Cálculo, especificamente derivadas, para identificar os pontos onde a função pode atingir esses extremos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função e nos ajuda a encontrar os pontos onde a função pode ter máximo ou mínimo.
A função é:
Vamos derivar cada termo:
- A derivada de
é . - A derivada de
é (usamos a regra do poder). - A derivada de
é .
Então, a derivada fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, onde a derivada é igual a zero ou não existe. Esses pontos são candidatos a serem máximos ou mínimos.
Vamos resolver
:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Para determinar se esse ponto crítico é um mínimo ou máximo, vamos usar a segunda derivada da função.
Primeiro, encontramos a segunda derivada
:
Agora, avaliamos a segunda derivada em
:
Como
, isso indica que a função tem um mínimo local em
.
Passo 5
Vamos calcular o valor da função nesse ponto para encontrar o mínimo absoluto.
Substituindo
na função:
Agora, vamos analisar o comportamento da função quando
se aproxima de 0 e de
:
- Quando
: - Quando
:
Isso mostra que não há um máximo absoluto na função, já que ela tende a infinito em ambas as direções.
Resposta
A função
tem um mínimo absoluto de 35 no ponto
. Não existe um máximo absoluto nessa função para
.
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, em que
.
.
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, em que
.
.
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