Encontre os limites:
lim P (-14, pi2, 2) arctan (x y z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para encontrar o limite da função quando o ponto se aproxima de . Estamos trabalhando com limites em funções de várias variáveis, e para resolver isso, vamos precisar entender como os limites funcionam e como aplicar a continuidade da função arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que a função limP (-14, pi2, 2) arctan(x y z) = arctan( limP (-14, pi2, 2) x y z ) faz. A função arco-tangente, ou , é a função inversa da tangente e é contínua em todo o seu domínio. Isso significa que podemos trocar o limite com a função, ou seja:
Isso simplifica bastante nosso trabalho!

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite do produto limx -14 x = -14 quando limy pi2 y = pi2 se aproxima de limz 2 z = 2 . Como estamos lidando com um produto de funções contínuas, podemos calcular o limite de cada variável individualmente e multiplicar os resultados:
limP (-14, pi2, 2) x y z = (-14) times pi2 times 2
Portanto:

Passo 4

Vamos calcular esse produto passo a passo:
(-14) times pi2 = -pi8
-pi8 times 2 = -pi4
Então, o limite do produto é .

Passo 5

Agora, voltando à nossa primeira equação, sabemos que:
limP (-14, pi2, 2) arctan(x y z) = arctan(-pi4)
Como a função é contínua, podemos simplesmente substituir o limite encontrado.

Resposta

Portanto, o limite é .

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