Encontre os limites:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para encontrar o limite da função quando o ponto se aproxima de . Estamos trabalhando com limites em funções de várias variáveis, e para resolver isso, vamos precisar entender como os limites funcionam e como aplicar a continuidade da função arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que a função faz. A função arco-tangente, ou , é a função inversa da tangente e é contínua em todo o seu domínio. Isso significa que podemos trocar o limite com a função, ou seja:
Isso simplifica bastante nosso trabalho!

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite do produto quando se aproxima de . Como estamos lidando com um produto de funções contínuas, podemos calcular o limite de cada variável individualmente e multiplicar os resultados:
Portanto:

Passo 4

Vamos calcular esse produto passo a passo:
Então, o limite do produto é .

Passo 5

Agora, voltando à nossa primeira equação, sabemos que:
Como a função é contínua, podemos simplesmente substituir o limite encontrado.

Resposta

Portanto, o limite é .

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Calcule as integrais dadas a seguir.
(b) .
Calcule a integral iterada:
b.
Em cada item, calcule , em que .
.