Encontre os limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para encontrar o limite da função
quando o ponto
se aproxima de
. Estamos trabalhando com limites em funções de várias variáveis, e para resolver isso, vamos precisar entender como os limites funcionam e como aplicar a continuidade da função arco-tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que a função
faz. A função arco-tangente, ou
, é a função inversa da tangente e é contínua em todo o seu domínio. Isso significa que podemos trocar o limite com a função, ou seja:
Isso simplifica bastante nosso trabalho!
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite do produto
quando
se aproxima de
. Como estamos lidando com um produto de funções contínuas, podemos calcular o limite de cada variável individualmente e multiplicar os resultados:
Portanto:
Passo 4
Vamos calcular esse produto passo a passo:
Então, o limite do produto
é
.
Passo 5
Agora, voltando à nossa primeira equação, sabemos que:
Como a função
é contínua, podemos simplesmente substituir o limite encontrado.
Resposta
Portanto, o limite é
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais dadas a seguir.
(b) .
(b)
Calcule a integral iterada:
b.
b.
Em cada item, calcule
, em que
.
.