Em cada item, calcule integral duplaD f(x, y) d A, em que D=[x1, x2] times[y1, y2].
f(x, y)=x sin (y) ; D=[0,2] times[0, pi2].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular uma integral dupla, que é tipo uma soma acumulada de uma função em uma região específica. Aqui, a função é e a região é um retângulo definido por variando de 0 a 2 e variando de 0 a . Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de integração dupla e entender como integrar em duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla de forma mais detalhada. Como integral duplaD f(x, y) , dA = integral0^pi2 integral0^2 x sin(y) , dx , dy é um retângulo, podemos dividir a integral em duas integrais simples, uma sobre e outra sobre :
Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 3

Vamos começar integrando a função integral0^2 x sin(y) , dx em relação a sin(y) integral0^2 x , dx , mantendo sin(y) [ x^22 ]0^2 = sin(y) ( 42 - 02 ) = sin(y) times 2 = 2 sin(y) como uma constante:
Como não depende de , podemos tirá-lo da integral:
Agora, a integral de em relação a é , então temos:

Passo 4

Agora que simplificamos a primeira parte, vamos substituir de volta na integral original:
integral0^pi2 2 sin(y) , dy
Fatoramos o 2 para fora da integral:
2 integral0^pi2 sin(y) , dy
A integral de 2 [ -cos(y) ]0^pi2 = 2 ( -cos(pi2) + cos(0) ) em relação a 2 ( -0 + 1 ) = 2 times 1 = 2 é , então:
Sabemos que e , então:

Resposta

O valor da integral dupla é 2.

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