Em cada Problema de 11 até 14, achar um fator integrante e resolver a equação dada. y' = e^(2x) + y - 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para resolver a equação diferencial usando um fator integrante. Isso está relacionado à matéria de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar um fator que nos ajude a simplificar a equação e depois integrar para achar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para o formato padrão das equações diferenciais lineares: .
Dessa forma, temos:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Isso simplifica o lado esquerdo para a derivada de .

Passo 5

Reescrevendo, temos:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :

Passo 6

Integrando:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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