Um terreno retangular é cercado por
de cerca. Quais as dimensões desse terreno para que a sua área seja a maior possível? E qual é essa área máxima?
Passo 1
Vamos entender o problema: temos um terreno retangular cercado por 1500 metros de cerca. Queremos descobrir quais devem ser as dimensões desse terreno para que a área seja a maior possível. Para isso, vamos usar conceitos de geometria, especificamente sobre perímetro e área de retângulos, além de otimização com funções quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o perímetro
de um retângulo é calculado pela fórmula:
onde
é o comprimento e
é a largura do terreno. Sabendo que o perímetro é 1500 metros, temos:
Passo 3
Vamos simplificar essa equação para encontrar uma relação entre
e
:
Isso nos mostra que a largura
pode ser expressa em função do comprimento
.
Passo 4
Agora, a área
do retângulo é dada por:
Substituindo
por
, temos:
Passo 5
A função da área fica então:
Essa é uma função quadrática que representa uma parábola que abre para baixo, o que significa que existe um valor de
que maximiza a área.
Passo 6
Para encontrar o valor de
que maximiza a área, usamos a fórmula do vértice da parábola:
Aqui,
e
. Substituindo:
Passo 7
Agora que sabemos que
metros, podemos encontrar
:
Passo 8
Finalmente, calculamos a área máxima:
Resposta
As dimensões que maximizam a área do terreno são
metros de comprimento e
metros de largura, resultando em uma área máxima de
.
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, em que
.
.
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