Um terreno retangular é cercado por 1500 m de cerca. Quais as dimensões desse terreno para que a sua área seja a maior possível? E qual é essa área máxima?

Passo 1

Vamos entender o problema: temos um terreno retangular cercado por 1500 metros de cerca. Queremos descobrir quais devem ser as dimensões desse terreno para que a área seja a maior possível. Para isso, vamos usar conceitos de geometria, especificamente sobre perímetro e área de retângulos, além de otimização com funções quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o perímetro de um retângulo é calculado pela fórmula:
onde é o comprimento e é a largura do terreno. Sabendo que o perímetro é 1500 metros, temos:

Passo 3

Vamos simplificar essa equação para encontrar uma relação entre e :
Isso nos mostra que a largura pode ser expressa em função do comprimento .

Passo 4

Agora, a área do retângulo é dada por:
Substituindo por , temos:

Passo 5

A função da área fica então:
Essa é uma função quadrática que representa uma parábola que abre para baixo, o que significa que existe um valor de que maximiza a área.

Passo 6

Para encontrar o valor de que maximiza a área, usamos a fórmula do vértice da parábola:
Aqui, e . Substituindo:

Passo 7

Agora que sabemos que metros, podemos encontrar :

Passo 8

Finalmente, calculamos a área máxima:

Resposta

As dimensões que maximizam a área do terreno são metros de comprimento e metros de largura, resultando em uma área máxima de .

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