Em cada item, calcule a integral integralC nabla f cdot d r diretamente e também pelo teorema do campo conservativo e verifique que o resultado é o mesmo.
(b) f(x, y)=x^2+y^2+y e C é a curva r(t)=(cos t, sen t), 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa calcular a integral de linha integralC nabla f cdot d r de duas maneiras diferentes e verificar se os resultados são iguais. O que isso quer dizer é que vamos usar tanto o cálculo direto quanto o teorema do campo conservativo para resolver o problema. A função que vamos usar é f(x, y) = x^2 + y^2 + y, e a curva C é parametrizada por para r(t) = (cos t, sen t) entre t e 0. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre campos vetoriais conservativos, gradientes e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral diretamente. Para isso, precisamos parametrizar a curva C e encontrar nabla f.
A curva é dada por , então as componentes são:
Com isso, a derivada de r(t) = (cos t, sen t) em relação a x(t) = cos t e y(t) = sen t é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o gradiente da função f(x, y) = x^2 + y^2 + y. O gradiente é dado pelas derivadas parciais de f em relação a x e y:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) = (2x, 2y + 1)

Passo 4

Substituímos as parametrizações de x(t) e y(t) na expressão do gradiente:
Agora, calculamos o produto escalar nabla f(r(t)) = ( 2cos t, 2sen t + 1 ) :

Passo 5

Agora, integramos essa expressão de t = 0 a t = 2pi:

Passo 6

Vamos agora usar o teorema do campo conservativo, que nos diz que se um campo vetorial é conservativo (ou seja, é o gradiente de uma função escalar f), então a integral de linha ao longo de uma curva fechada é zero:
integralC nabla f cdot d r = f(r(2pi)) - f(r(0))
Observando que r(2pi) = r(0) = (1, 0), temos:
f(r(2pi)) - f(r(0)) = f(1, 0) - f(1, 0) = 0

Resposta

A integral integralC nabla f cdot d r vale 0 tanto pelo cálculo direto quanto pelo teorema do campo conservativo.

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