Em cada item, calcule a integral
diretamente e também pelo teorema do campo conservativo e verifique que o resultado é o mesmo.
(b)
e
é a curva
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa calcular a integral de linha
de duas maneiras diferentes e verificar se os resultados são iguais. O que isso quer dizer é que vamos usar tanto o cálculo direto quanto o teorema do campo conservativo para resolver o problema. A função que vamos usar é
, e a curva
é parametrizada por para
entre
e
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre campos vetoriais conservativos, gradientes e integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a integral diretamente. Para isso, precisamos parametrizar a curva
e encontrar
.
A curva é dada por , então as componentes são:
Com isso, a derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é dado pelas derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 4
Substituímos as parametrizações de
e
na expressão do gradiente:
Agora, calculamos o produto escalar
:
Passo 5
Agora, integramos essa expressão de
a
:
Passo 6
Vamos agora usar o teorema do campo conservativo, que nos diz que se um campo vetorial é conservativo (ou seja, é o gradiente de uma função escalar
), então a integral de linha ao longo de uma curva fechada é zero:
Observando que
, temos:
Resposta
A integral
vale
tanto pelo cálculo direto quanto pelo teorema do campo conservativo.
Exercícios relacionados
Em cada item, calcule a integral
diretamente e também pelo teorema do campo conservativo e verifique que o resultado é o mesmo.
(a) e
é a curva
.
(a)
Em cada item, use o teorema de Green para calcular a integral
. Alerta! Lembre-se de que o teorema de Green exige que a curva esteja orientada de forma compatível com a região. Caso não esteja, é necessário inverter o sinal da resposta ao final.
© e
é a fronteira do triângulo de vértices
e
orientada no sentido horário.
©
Em cada item, use o teorema do campo conservativo para calcular a integral
.
(b) e
é qualquer curva com ponto inicial
e ponto final
.
(b)
Em cada item, use o teorema do campo conservativo para calcular a integral
.
(d) é uma função qualquer e
é uma curva fechada qualquer.
(d)