Em cada item, calcule a integral diretamente e também pelo teorema do campo conservativo e verifique que o resultado é o mesmo.
(b) e é a curva .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa calcular a integral de linha de duas maneiras diferentes e verificar se os resultados são iguais. O que isso quer dizer é que vamos usar tanto o cálculo direto quanto o teorema do campo conservativo para resolver o problema. A função que vamos usar é , e a curva é parametrizada por para entre e . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre campos vetoriais conservativos, gradientes e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral diretamente. Para isso, precisamos parametrizar a curva e encontrar .
A curva é dada por , então as componentes são:
Com isso, a derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é dado pelas derivadas parciais de em relação a e :

Passo 4

Substituímos as parametrizações de e na expressão do gradiente:
Agora, calculamos o produto escalar :

Passo 5

Agora, integramos essa expressão de a :

Passo 6

Vamos agora usar o teorema do campo conservativo, que nos diz que se um campo vetorial é conservativo (ou seja, é o gradiente de uma função escalar ), então a integral de linha ao longo de uma curva fechada é zero:
Observando que , temos:

Resposta

A integral vale tanto pelo cálculo direto quanto pelo teorema do campo conservativo.

Exercícios relacionados

Em cada item, calcule a integral diretamente e também pelo teorema do campo conservativo e verifique que o resultado é o mesmo.
(a) e é a curva .
Em cada item, use o teorema de Green para calcular a integral . Alerta! Lembre-se de que o teorema de Green exige que a curva esteja orientada de forma compatível com a região. Caso não esteja, é necessário inverter o sinal da resposta ao final.
© e é a fronteira do triângulo de vértices e orientada no sentido horário.
Em cada item, use o teorema do campo conservativo para calcular a integral .
(b) e é qualquer curva com ponto inicial e ponto final .
Em cada item, use o teorema do campo conservativo para calcular a integral .
(d) é uma função qualquer e é uma curva fechada qualquer.