Em cada item, use o teorema do campo conservativo para calcular a integral
.
(d)
é uma função qualquer e
é uma curva fechada qualquer.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema pede para calcular a integral de uma função qualquer
ao longo de uma curva fechada
usando o teorema do campo conservativo. Ou seja, queremos encontrar o valor de
. Vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como isso afeta a integral em curvas fechadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Isso significa que a integral de
ao longo de qualquer caminho depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho em si.
Passo 3
Agora, o teorema do campo conservativo nos diz que a integral de um campo conservativo ao longo de uma curva fechada é sempre zero. Isso porque, em uma curva fechada, o ponto inicial e final são os mesmos, e a diferença de
nesses pontos é zero.
Passo 4
Aplicando esse teorema à nossa integral
, vemos que como
é um campo conservativo, a integral ao longo da curva fechada
será zero.
Resposta
Exercícios relacionados
Em cada item, use o teorema do campo conservativo para calcular a integral
.
(b) e
é qualquer curva com ponto inicial
e ponto final
.
(b)
Em cada item, calcule a integral
diretamente e também pelo teorema do campo conservativo e verifique que o resultado é o mesmo.
(b) e
é a curva
.
(b)
Em cada item, use o teorema do campo conservativo para calcular a integral
.
(a) e
é a curva dada pela metade superior da elipse
com orientação no sentido anti-horário.
(a)
Em cada item, use o teorema do campo conservativo para calcular a integral
.
© e
é a elipse
com orientação no sentido anti-horário.
©