Em cada item, use o teorema do campo conservativo para calcular a integral .
(d) é uma função qualquer e é uma curva fechada qualquer.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema pede para calcular a integral de uma função qualquer ao longo de uma curva fechada usando o teorema do campo conservativo. Ou seja, queremos encontrar o valor de . Vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como isso afeta a integral em curvas fechadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial tal que . Isso significa que a integral de ao longo de qualquer caminho depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho em si.

Passo 3

Agora, o teorema do campo conservativo nos diz que a integral de um campo conservativo ao longo de uma curva fechada é sempre zero. Isso porque, em uma curva fechada, o ponto inicial e final são os mesmos, e a diferença de nesses pontos é zero.

Passo 4

Aplicando esse teorema à nossa integral , vemos que como é um campo conservativo, a integral ao longo da curva fechada será zero.

Resposta

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Em cada item, use o teorema do campo conservativo para calcular a integral .
(b) e é qualquer curva com ponto inicial e ponto final .
Em cada item, calcule a integral diretamente e também pelo teorema do campo conservativo e verifique que o resultado é o mesmo.
(b) e é a curva .
Em cada item, use o teorema do campo conservativo para calcular a integral .
(a) e é a curva dada pela metade superior da elipse com orientação no sentido anti-horário.
Em cada item, use o teorema do campo conservativo para calcular a integral .
© e é a elipse com orientação no sentido anti-horário.