Em cada item, use o teorema do campo conservativo para calcular a integral integralC nabla f cdot d r.
(b) f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2 e C é qualquer curva com ponto inicial (1,0,-1) e ponto final (2,3,4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha , onde e é qualquer curva que começa no ponto e termina em . A gente vai usar o Teorema dos Campos Conservativos, que diz que essa integral depende apenas dos valores de nos pontos inicial e final da curva, não importando o caminho seguido.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de f(2, 3, 4) = 2^2 + 3^2 + 4^2 = 4 + 9 + 16 = 29 no ponto final . Substituindo na função:

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor de f(1, 0, -1) = 1^2 + 0^2 + (-1)^2 = 1 + 0 + 1 = 2 no ponto inicial . Substituindo na função:

Passo 4

De acordo com o Teorema dos Campos Conservativos, a integral é a diferença entre o valor de integralC nabla f cdot d r = f(2, 3, 4) - f(1, 0, -1) = 29 - 2 = 27 no ponto final e no ponto inicial:

Resposta

A integral vale 27.

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