Em cada item, use o teorema do campo conservativo para calcular a integral
.
(a)
e
é a curva dada pela metade superior da elipse
com orientação no sentido anti-horário.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha
usando o teorema do campo conservativo. Aqui, a função dada é
e a curva
é a metade superior da elipse
orientada no sentido anti-horário. Vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como aplicar o teorema para resolver a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo ser conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função potencial
tal que
é o gradiente dessa função. Nesse caso, a integral de linha de um campo conservativo entre dois pontos depende apenas dos valores da função potencial nesses pontos, ou seja:
Passo 3
Como o enunciado nos dá
, que é o gradiente de
, sabemos que estamos lidando com um campo conservativo. Isso simplifica bastante a nossa vida, porque não precisamos calcular a integral diretamente pela curva, basta encontrar os valores de
nos pontos inicial e final da curva
.
Passo 4
Agora, precisamos identificar os pontos inicial e final da curva
, que é a metade superior da elipse
. Vamos parametrizar essa elipse para encontrar esses pontos.
A elipse tem semi-eixos de comprimento 2 na direção x e 3 na direção y. A parametrização geral para a metade superior (onde
) é:
Então, o ponto inicial ocorre quando
:
E o ponto final ocorre quando
:
Passo 5
Agora que temos os pontos inicial
e final
, vamos calcular
nesses pontos usando a função
.
Para o ponto inicial
:
Para o ponto final
:
Passo 6
Agora, aplicando o teorema do campo conservativo:
Resposta
A integral é igual a
.