Em cada item, use o teorema do campo conservativo para calcular a integral integralC nabla f cdot d r.
(a) f(x, y)=x e^x y^2 e C é a curva dada pela metade superior da elipse x^22^2+y^23^2=1 com orientação no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha integralC nabla f cdot d r usando o teorema do campo conservativo. Aqui, a função dada é f(x, y) = x e^x y^2 e a curva C é a metade superior da elipse x^22^2+y^23^2=1 orientada no sentido anti-horário. Vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como aplicar o teorema para resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo ser conservativo. Um campo vetorial nabla f é conservativo se existe uma função potencial f tal que nabla f é o gradiente dessa função. Nesse caso, a integral de linha de um campo conservativo entre dois pontos depende apenas dos valores da função potencial nesses pontos, ou seja:
integralC nabla f cdot d r = f(ponto final) - f(ponto inicial)

Passo 3

Como o enunciado nos dá nabla f, que é o gradiente de f(x, y) = x e^x y^2, sabemos que estamos lidando com um campo conservativo. Isso simplifica bastante a nossa vida, porque não precisamos calcular a integral diretamente pela curva, basta encontrar os valores de f nos pontos inicial e final da curva C.

Passo 4

Agora, precisamos identificar os pontos inicial e final da curva C, que é a metade superior da elipse x^24 + y^29 = 1. Vamos parametrizar essa elipse para encontrar esses pontos.
A elipse tem semi-eixos de comprimento 2 na direção x e 3 na direção y. A parametrização geral para a metade superior (onde y >= 0) é:
x = 2 cos theta y = 3 sin theta Para theta de 0 a pi
Então, o ponto inicial ocorre quando theta = 0:
x = 2 cos 0 = 2 y = 3 sin 0 = 0 Rightarrow Ponto inicial (2, 0)
E o ponto final ocorre quando theta = pi:
x = 2 cos pi = -2 y = 3 sin pi = 0 Rightarrow Ponto final (-2, 0)

Passo 5

Agora que temos os pontos inicial (2, 0) e final (-2, 0), vamos calcular f nesses pontos usando a função f(x, y) = x e^x y^2.
Para o ponto inicial (2, 0):
f(2, 0) = 2 cdot e^2 cdot 0^2 = 2 cdot e^0 = 2 cdot 1 = 2
Para o ponto final (-2, 0):
f(-2, 0) = (-2) cdot e^-2 cdot 0^2 = (-2) cdot e^0 = (-2) cdot 1 = -2

Passo 6

Agora, aplicando o teorema do campo conservativo:
integralC nabla f cdot d r = f(final) - f(inicial) = f(-2, 0) - f(2, 0) = (-2) - (2) = -4

Resposta

A integral é igual a -4.

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