Em cada item, classifique os seguintes subconjuntos em LI ou LD.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de Álgebra Linear, especificamente sobre Dependência Linear. O enunciado pede pra gente classificar um conjunto de três matrizes como Linearmente Independentes (LI) ou Linearmente Dependentes (LD) no espaço
, que é o conjunto de todas as matrizes 2x2. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que significa essas classificações e como testar usando combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Basicamente, uma combinação linear de um conjunto de vetores (ou matrizes, no nosso caso) é uma soma dessas matrizes multiplicadas por escalares. Se a única maneira de essa combinação dar a matriz zero é se todos os escalares forem zero, então as matrizes são linearmente independentes. Caso contrário, elas são dependentes.
Passo 3
Então, vamos chamar nossas matrizes de
:
Queremos achar se existem escalares
, não todos zero, tais que:
Passo 4
Vamos montar as equações resultantes dessa combinação:
Passo 5
Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, da primeira equação:
Da quarta equação:
Substituindo
na equação de
:
Passo 6
Agora, substituímos
e
na segunda equação:
E na terceira equação:
Isso mostra que temos liberdade para escolher
diferente de zero, o que significa que existe uma combinação não trivial que resulta na matriz zero.
Resposta
As matrizes do conjunto
são Linearmente Dependentes (LD).