Em cada item, classifique os seguintes subconjuntos em LI ou LD.
V=M(2,2) ; A=[cc-1 & 2 3 & -2],[cc0 & -1 -1 & 1],[cc-1 & 0 1 & 0]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de Álgebra Linear, especificamente sobre Dependência Linear. O enunciado pede pra gente classificar um conjunto de três matrizes como Linearmente Independentes (LI) ou Linearmente Dependentes (LD) no espaço , que é o conjunto de todas as matrizes 2x2. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que significa essas classificações e como testar usando combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Basicamente, uma combinação linear de um conjunto de vetores (ou matrizes, no nosso caso) é uma soma dessas matrizes multiplicadas por escalares. Se a única maneira de essa combinação dar a matriz zero é se todos os escalares forem zero, então as matrizes são linearmente independentes. Caso contrário, elas são dependentes.

Passo 3

Então, vamos chamar nossas matrizes de A1 = -1 & 2 3 & -2 , A2 = 0 & -1 -1 & 1 , A3 = -1 & 0 1 & 0 :
c1 A1 + c2 A2 + c3 A3 = 0 & 0 0 & 0
Queremos achar se existem escalares , não todos zero, tais que:

Passo 4

Vamos montar as equações resultantes dessa combinação:
c1(-1) + c2(0) + c3(-1) = 0 (a primeira posição) çã
c1(2) + c2(-1) + c3(0) = 0 (a segunda posição) çã
c1(3) + c2(-1) + c3(1) = 0 (a terceira posição) çã
c1(-2) + c2(1) + c3(0) = 0 (a quarta posição) çã

Passo 5

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, da primeira equação:
- c1 - c3 = 0 implies c1 = -c3
Da quarta equação:
-2c1 + c2 = 0 implies c2 = 2c1
Substituindo c2 = 2(-c3) = -2c3 na equação de :

Passo 6

Agora, substituímos 2(-c3) + (-2c3)(-1) + 0 = 0 implies -2c3 + 2c3 = 0 implies 0 = 0 e 3(-c3) + (-2c3)(-1) + c3(1) = 0 implies -3c3 + 2c3 + c3 = 0 implies 0 = 0 na segunda equação:
E na terceira equação:
Isso mostra que temos liberdade para escolher diferente de zero, o que significa que existe uma combinação não trivial que resulta na matriz zero.

Resposta

As matrizes do conjunto são Linearmente Dependentes (LD).

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