Em cada item, classifique os seguintes subconjuntos em LI ou LD.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de Álgebra Linear, especificamente sobre Dependência Linear. O enunciado pede pra gente classificar um conjunto de três matrizes como Linearmente Independentes (LI) ou Linearmente Dependentes (LD) no espaço
, que é o conjunto de todas as matrizes 2x2. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que significa essas classificações e como testar usando combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Basicamente, uma combinação linear de um conjunto de vetores (ou matrizes, no nosso caso) é uma soma dessas matrizes multiplicadas por escalares. Se a única maneira de essa combinação dar a matriz zero é se todos os escalares forem zero, então as matrizes são linearmente independentes. Caso contrário, elas são dependentes.
Passo 3
Então, vamos chamar nossas matrizes de
:
Queremos achar se existem escalares
, não todos zero, tais que:
Passo 4
Vamos montar as equações resultantes dessa combinação:
Passo 5
Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, da primeira equação:
Da quarta equação:
Substituindo
na equação de
:
Passo 6
Agora, substituímos
e
na segunda equação:
E na terceira equação:
Isso mostra que temos liberdade para escolher
diferente de zero, o que significa que existe uma combinação não trivial que resulta na matriz zero.
Resposta
As matrizes do conjunto
são Linearmente Dependentes (LD).
Exercícios relacionados
Em cada item, classifique os seguintes subconjuntos em LI ou LD.
Seja
o conjunto dos divisores de 36 ( 1 e 36 inclusive) com a relação de ordem
.
é um reticulado? Justifique.
Determine as equações das retas que passam pelo ponto
e formam, cada uma, um ângulo de
com a reta
.
Reduzir cada uma das equaçōes à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quádrica que ela representa.