Em cada item, classifique os seguintes subconjuntos em LI ou LD.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para classificar o subconjunto
do espaço vetorial
como Linearmente Independente (LI) ou Linearmente Dependente (LD). Para isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto de vetores ser LI ou LD e como verificar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto de vetores ser Linearmente Independente ou Dependente.
-
Linearmente Independente (LI): Um conjunto de vetores é LI se nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores. Em outras palavras, os vetores não “dependem” uns dos outros.
-
Linearmente Dependente (LD): Um conjunto de vetores é LD se pelo menos um vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores. Isso significa que existe alguma relação de dependência entre eles.
Passo 3
Para verificar se o conjunto
é LI ou LD, vamos tentar ver se existe uma combinação linear dos vetores que resulte no vetor zero, onde pelo menos um dos coeficientes não é zero.
Isso significa que precisamos encontrar escalares
e
tais que:
Isso resulta em um sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar
e
.
Da primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Somando os termos:
E, consequentemente:
Passo 5
Encontramos que a única solução para o sistema é
e
. Isso significa que a única combinação linear que resulta no vetor zero é a trivial, onde ambos os coeficientes são zero.
Resposta
Como a única solução para a combinação linear é trivial (
e
), o conjunto
é Linearmente Independente (LI).
Exercícios relacionados
Seja
o conjunto dos divisores de 36 ( 1 e 36 inclusive) com a relação de ordem
.
é um reticulado? Justifique.
a) Mostre que os vetores
e
geram
.
Em cada item, classifique os seguintes subconjuntos em LI ou LD.
Determine as equações das retas que passam pelo ponto
e formam, cada uma, um ângulo de
com a reta
.