Em cada item, classifique os seguintes subconjuntos em LI ou LD.
V=R^2 ; A=(2,-1),(3,5)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para classificar o subconjunto do espaço vetorial como Linearmente Independente (LI) ou Linearmente Dependente (LD). Para isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto de vetores ser LI ou LD e como verificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto de vetores ser Linearmente Independente ou Dependente.
  • Linearmente Independente (LI): Um conjunto de vetores é LI se nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores. Em outras palavras, os vetores não “dependem” uns dos outros.
  • Linearmente Dependente (LD): Um conjunto de vetores é LD se pelo menos um vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores. Isso significa que existe alguma relação de dependência entre eles.

Passo 3

Para verificar se o conjunto alpha cdot (2, -1) + beta cdot (3, 5) = (0, 0) é LI ou LD, vamos tentar ver se existe uma combinação linear dos vetores que resulte no vetor zero, onde pelo menos um dos coeficientes não é zero.
Isso significa que precisamos encontrar escalares 2alpha + 3beta = 0 -1alpha + 5beta = 0 e tais que:
Isso resulta em um sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar 2alpha + 3beta = 0 Rightarrow alpha = -32beta e -1(-32beta) + 5beta = 0 Rightarrow 32beta + 5beta = 0 .
Da primeira equação:
132beta = 0 Rightarrow beta = 0
Substituindo alpha = -32 cdot 0 = 0 na segunda equação:
Somando os termos:
E, consequentemente:

Passo 5

Encontramos que a única solução para o sistema é e . Isso significa que a única combinação linear que resulta no vetor zero é a trivial, onde ambos os coeficientes são zero.

Resposta

Como a única solução para a combinação linear é trivial ( e ), o conjunto é Linearmente Independente (LI).

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