Reduzir cada uma das equaçōes à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quádrica que ela representa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação que é . O objetivo aqui é colocar essa equação na forma canônica, identificar que tipo de superfície quadrática ela representa e desenhar o gráfico dessa forma. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre quadricas e suas formas padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da forma canônica. A equação dada é:
Podemos reescrever isso subtraindo e de ambos os lados:

Passo 3

Agora, observamos que a equação possui termos quadráticos com sinais diferentes. Isso nos indica que estamos lidando com um hiperboloide. Para identificar exatamente qual tipo, vamos comparar com as formas canônicas das quadricas.

Passo 4

A forma canônica de um hiperboloide de uma folha é:
Já a forma canônica de um hiperboloide de duas folhas é:

Passo 5

Comparando com a nossa equação reescrita:
Podemos ver que ela se assemelha à forma de um cone, que é uma quadrica degenerada, mas para ser mais preciso, o tipo que mais se aproxima é o de um cone duplo.

Passo 6

Um cone duplo na forma canônica é representado por:
Que é exatamente a nossa equação original. Portanto, a superfície representada por essa equação é um cone duplo.

Passo 7

Para construir o gráfico do cone duplo, imagine duas superfícies cônicas que se encontram no vértice (neste caso, na origem). Elas se abrem em direções opostas ao longo do eixo .

Resposta

A equação está na forma canônica de um cone duplo. O gráfico dessa equação representa duas superfícies cônicas que se encontram na origem, abrindo-se simetricamente ao longo do eixo .

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Determine as equações das retas que passam pelo ponto e formam, cada uma, um ângulo de com a reta .
Em cada item, classifique os seguintes subconjuntos em LI ou LD.
Escreva, se possível, como combinação linear de e :
e .
b) Os vetores e formam uma base para ?