Reduzir cada uma das equaçōes à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quádrica que ela representa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação que é
. O objetivo aqui é colocar essa equação na forma canônica, identificar que tipo de superfície quadrática ela representa e desenhar o gráfico dessa forma. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre quadricas e suas formas padrão.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da forma canônica. A equação dada é:
Podemos reescrever isso subtraindo
e
de ambos os lados:
Passo 3
Agora, observamos que a equação possui termos quadráticos com sinais diferentes. Isso nos indica que estamos lidando com um hiperboloide. Para identificar exatamente qual tipo, vamos comparar com as formas canônicas das quadricas.
Passo 4
A forma canônica de um hiperboloide de uma folha é:
Já a forma canônica de um hiperboloide de duas folhas é:
Passo 5
Comparando com a nossa equação reescrita:
Podemos ver que ela se assemelha à forma de um cone, que é uma quadrica degenerada, mas para ser mais preciso, o tipo que mais se aproxima é o de um cone duplo.
Passo 6
Um cone duplo na forma canônica é representado por:
Que é exatamente a nossa equação original. Portanto, a superfície representada por essa equação é um cone duplo.
Passo 7
Para construir o gráfico do cone duplo, imagine duas superfícies cônicas que se encontram no vértice (neste caso, na origem). Elas se abrem em direções opostas ao longo do eixo
.
Resposta
A equação
está na forma canônica de um cone duplo. O gráfico dessa equação representa duas superfícies cônicas que se encontram na origem, abrindo-se simetricamente ao longo do eixo
.
Exercícios relacionados
Determine as equações das retas que passam pelo ponto
e formam, cada uma, um ângulo de
com a reta
.
Em cada item, classifique os seguintes subconjuntos em LI ou LD.
Escreva, se possível,
como combinação linear de
e
:
e
.
b) Os vetores
e
formam uma base para
?