Seja o conjunto dos divisores de 36 ( 1 e 36 inclusive) com a relação de ordem . é um reticulado? Justifique.

Passo 1

Então, o enunciado nos apresenta o conjunto , que inclui todos os divisores de 36, ou seja, . A relação de ordem definida aqui é se e somente se divide (escrito como ). Nosso objetivo é descobrir se forma um reticulado, que na matemática é um tipo de estrutura onde qualquer par de elementos tem um menor limite superior (m.c.m.) e um maior limite inferior (m.d.c.).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um reticulado. Em termos simples, um reticulado é uma estrutura onde, para quaisquer dois elementos, sempre podemos encontrar o menor elemento que é maior que ambos (o m.c.m.) e o maior elemento que é menor que ambos (o m.d.c.). Isso garante que a estrutura é bem organizada em termos de ordem.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao conjunto . Precisamos verificar se, para cada par de divisores de 36, existe tanto o m.c.m. quanto o m.d.c. dentro de .

Passo 4

Exemplo 1: Vamos pegar os números 4 e 6.
  • m.d.c.: O maior divisor comum de 4 e 6 é 2, que está em .
  • m.c.m.: O menor múltiplo comum de 4 e 6 é 12, que também está em .
Exemplo 2: Agora, os números 9 e 12.
  • m.d.c.: O maior divisor comum de 9 e 12 é 3, presente em .
  • m.c.m.: O menor múltiplo comum de 9 e 12 é 36, que também pertence a .

Passo 5

Vamos considerar todos os pares possíveis de . Observamos que, para cada par, tanto o m.d.c. quanto o m.c.m. estão sempre incluídos em . Isso ocorre porque estamos trabalhando com divisores de 36, e tanto o m.d.c. quanto o m.c.m. de quaisquer dois divisores de 36 também são divisores de 36.

Resposta

Sim, o conjunto com a relação de divisão forma um reticulado, pois para qualquer par de divisores de 36 existe tanto o mínimo múltiplo comum quanto o máximo divisor comum dentro do conjunto.

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