Determine as equações das retas que passam pelo ponto P=(1,1) e formam, cada uma, um ângulo de 30^circ com a reta r: x-3 y=1.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria analítica. Precisamos encontrar as equações das retas que passam pelo ponto e formam um ângulo de com a reta dada . Para isso, vamos usar conceitos de inclinação de retas e a fórmula do ângulo entre duas retas.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a inclinação da reta mr = -1-3 = 13 . A inclinação de uma reta na forma é . Aplicando isso à reta :
Então, a inclinação da reta é .

Passo 3

Sabemos que a inclinação das retas que formam um ângulo tan(theta) = | m1 - m21 + m1 m2 | com a reta pode ser encontrada usando a fórmula:
Aqui, é a inclinação da reta e é a inclinação da reta que queremos encontrar.

Passo 4

Substituindo tan(30^circ) = | 13 - m21 + 13 m2 | e na fórmula:
Sabemos que .

Passo 5

Resolvendo a equação:
raiz33 = | 13 - m21 + 13 m2 |
Removendo o valor absoluto, temos duas possibilidades:
raiz33 = 13 - m21 + 13 m2
ou
raiz33 = -13 - m21 + 13 m2

Passo 6

Resolvendo a primeira equação:
raiz33 (1 + 13 m2) = 13 - m2
Multiplicando ambos os lados por 3 para simplificar:
raiz3 (1 + 13 m2) = 1 - 3m2
Distribuindo:
raiz3 + raiz33 m2 = 1 - 3m2
Rearranjando os termos:
raiz33 m2 + 3m2 = 1 - raiz3
Fatorando m2 ( raiz33 + 3 ) = 1 - raiz3 :
m2 ( raiz3 + 93 ) = 1 - raiz3
Calculando:
m2 = 3(1 - raiz3)raiz3 + 9 = 3 - 3raiz3raiz3 + 9
Portanto:
m2 = (3 - 3raiz3)(raiz3 - 9)(raiz3 + 9)(raiz3 - 9) = 3raiz3 - 27 - 3 cdot 3 + 27raiz33 - 81 = 30raiz3 - 36-78 = -30raiz3 + 3678 = -5raiz3 + 613
Multiplicando numerador e denominador por para racionalizar:

Passo 7

Resolvendo a segunda equação:
raiz33 = -13 - m21 + 13 m2
Multiplicando ambos os lados por raiz33 ( 1 + 13 m2 ) = -( 13 - m2 ) :
raiz3 ( 1 + 13 m2 ) = -1 + 3m2
Multiplicando por 3:
raiz3 + raiz33 m2 = -1 + 3m2
Distribuindo:
raiz33 m2 - 3m2 = -1 - raiz3
Rearranjando:
m2 ( raiz33 - 3 ) = -1 - raiz3
Fatorando m2 ( raiz3 - 93 ) = -1 - raiz3 :
m2 = 3(-1 - raiz3)raiz3 - 9 = -3 - 3raiz3raiz3 - 9
Calculando:
m2 = (-3 - 3raiz3)(raiz3 + 9)(raiz3 - 9)(raiz3 + 9) = -3raiz3 - 27 - 3 cdot 3 - 27raiz33 - 81 = -30raiz3 - 36-78 = 30raiz3 + 3678 = 5raiz3 + 613
Portanto:
Multiplicando numerador e denominador por :

Resposta

As equações das retas são:
y - 1 = ( -5raiz3 + 613 )(x - 1)
e
y - 1 = ( 5raiz3 + 613 )(x - 1)

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