Determine as equações das retas que passam pelo ponto e formam, cada uma, um ângulo de com a reta .
Passo 1
Vamos resolver um exercício de geometria analítica. Precisamos encontrar as equações das retas que passam pelo ponto e formam um ângulo de com a reta dada . Para isso, vamos usar conceitos de inclinação de retas e a fórmula do ângulo entre duas retas.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a inclinação da reta . A inclinação de uma reta na forma é . Aplicando isso à reta :
Então, a inclinação da reta é .
Passo 3
Sabemos que a inclinação das retas que formam um ângulo com a reta pode ser encontrada usando a fórmula:
Aqui, é a inclinação da reta e é a inclinação da reta que queremos encontrar.
Passo 4
Substituindo e na fórmula:
Sabemos que .
Passo 5
Resolvendo a equação:
Removendo o valor absoluto, temos duas possibilidades:
ou
Passo 6
Resolvendo a primeira equação:
Multiplicando ambos os lados por 3 para simplificar:
Distribuindo:
Rearranjando os termos:
Fatorando :
Calculando:
Portanto:
Multiplicando numerador e denominador por para racionalizar: