Determine as equações das retas que passam pelo ponto e formam, cada uma, um ângulo de com a reta .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria analítica. Precisamos encontrar as equações das retas que passam pelo ponto e formam um ângulo de com a reta dada . Para isso, vamos usar conceitos de inclinação de retas e a fórmula do ângulo entre duas retas.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a inclinação da reta . A inclinação de uma reta na forma é . Aplicando isso à reta :
Então, a inclinação da reta é .

Passo 3

Sabemos que a inclinação das retas que formam um ângulo com a reta pode ser encontrada usando a fórmula:
Aqui, é a inclinação da reta e é a inclinação da reta que queremos encontrar.

Passo 4

Substituindo e na fórmula:
Sabemos que .

Passo 5

Resolvendo a equação:
Removendo o valor absoluto, temos duas possibilidades:
ou

Passo 6

Resolvendo a primeira equação:
Multiplicando ambos os lados por 3 para simplificar:
Distribuindo:
Rearranjando os termos:
Fatorando :
Calculando:
Portanto:
Multiplicando numerador e denominador por para racionalizar:

Passo 7

Resolvendo a segunda equação:
Multiplicando ambos os lados por :
Multiplicando por 3:
Distribuindo:
Rearranjando:
Fatorando :
Calculando:
Portanto:
Multiplicando numerador e denominador por :

Resposta

As equações das retas são:
e

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e .