a) Mostre que os vetores e geram .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá quatro vetores: , , e . A missão é provar que esses vetores geram , ou seja, qualquer vetor em pode ser formado combinando esses vetores. Para isso, vamos usar conceitos de combinações lineares e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar esses vetores em uma matriz. Cada vetor vira uma coluna da matriz:
Obs: Parece que o tem apenas dois componentes. Para que faça sentido no , vou assumir que o terceiro componente é zero, então .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se o posto dessa matriz é 3, ou seja, se há três colunas que são linearmente independentes. Se sim, então esses vetores geram .

Passo 4

Vamos pegar as três primeiras colunas e calcular o determinante:
Calculando o determinante:

Passo 5

Como o determinante é diferente de zero ( ), as três colunas são linearmente independentes. Isso significa que os vetores , e formam uma base para .

Resposta

Portanto, os vetores , , e geram .

Exercícios relacionados

Sejam e . Mostrar que cada operação a seguir define um produto interno no :
Em cada item, determine o valor de para que o conjunto seja LI
Seja o conjunto dos divisores de 36 ( 1 e 36 inclusive) com a relação de ordem . é um reticulado? Justifique.
Em cada item, classifique os seguintes subconjuntos em LI ou LD.