a) Mostre que os vetores v1=(1.1,1), v2=(1,2,3), v3=(3,0,2) e v4=(2,-1,1) geram R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá quatro vetores: , , e . A missão é provar que esses vetores geram , ou seja, qualquer vetor em pode ser formado combinando esses vetores. Para isso, vamos usar conceitos de combinações lineares e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar esses vetores em uma matriz. Cada vetor vira uma coluna da matriz:
A = 1.1 & 1 & 3 & 2 1 & 2 & 0 & -1 & 3 & 2 & 1
Obs: Parece que o tem apenas dois componentes. Para que faça sentido no , vou assumir que o terceiro componente é zero, então .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se o posto dessa matriz é 3, ou seja, se há três colunas que são linearmente independentes. Se sim, então esses vetores geram .

Passo 4

Vamos pegar as três primeiras colunas e calcular o determinante:
det 1.1 & 1 & 3 1 & 2 & 0 0 & 3 & 2
Calculando o determinante:
det = 1.1(2 cdot 2 - 0 cdot 3) - 1(1 cdot 2 - 0 cdot 0) + 3(1 cdot 3 - 2 cdot 0)
det = 1.1(4) - 1(2) + 3(3)
det = 4.4 - 2 + 9 = 11.4

Passo 5

Como o determinante é diferente de zero ( ), as três colunas são linearmente independentes. Isso significa que os vetores , e formam uma base para .

Resposta

Portanto, os vetores , , e geram .

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