Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá quatro vetores: , , e . A missão é provar que esses vetores geram, ou seja, qualquer vetor em pode ser formado combinando esses vetores. Para isso, vamos usar conceitos de combinações lineares e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar esses vetores em uma matriz. Cada vetor vira uma coluna da matriz:
Obs: Parece que o tem apenas dois componentes. Para que faça sentido no , vou assumir que o terceiro componente é zero, então .
Passo 3
Agora, precisamos verificar se o posto dessa matriz é 3, ou seja, se há três colunas que são linearmente independentes. Se sim, então esses vetores geram .
Passo 4
Vamos pegar as três primeiras colunas e calcular o determinante:
Calculando o determinante:
Passo 5
Como o determinante é diferente de zero (), as três colunas são linearmente independentes. Isso significa que os vetores , e formam uma base para .