Considere a matriz
. Calcule:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a matriz
e precisamos calcular
. A matéria aqui é potenciação de matrizes, e para resolver isso, vamos precisar entender como elevar uma matriz a uma potência alta de forma simplificada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que elevar uma matriz a uma potência significa multiplicar a matriz por ela mesma várias vezes. Mas fazer isso 50 vezes manualmente seria uma chatice, né? Então, vamos procurar um padrão.
Vamos calcular algumas potências menores de
para ver se aparece um padrão:
Legal, percebeu o que tá rolando? A cada potência, o número na posição
aumenta em 1, enquanto os outros números permanecem iguais.
Passo 3
Então, dá pra generalizar isso! Parece que:
Isso significa que, para qualquer potência
, a matriz elevada fica com o número
na posição
e os outros números ficando 1 e 0 como na matriz original.
Resposta
Portanto,
.
Exercícios relacionados
Encontre a equação do plano que contém o ponto
e que é perpendicular à reta
.
Determine a equação da reta interseção dos planos nos seguintes casos:
a)
a)
Mostre que se
é um isomorfismo de anéis, então a função inversa,
também é um isomorfismo de anéis.
Dica: Se é uma bijeção, então, (teorema sobre funções invertíveis) é garantido que
existe. Resta provar que
satisfaz (HA1) e (HA2) da Definição 1.
Dica: Se
Em cada item, considerando os anéis indicados com suas operações usuais, verifique:
(a) Se f é um homomorfismo de anéis;
Caso seja homomorfismo,
(b) Calcule o núcleo e a imagem de f;
© Classifique , entre monomorfismo, epimorfismo ou isomorfismo de anéis.
(d) No caso de ser um isomorfismo de anéis, encontre o homomorfismo inverso
.
(a) Se f é um homomorfismo de anéis;
Caso seja homomorfismo,
(b) Calcule o núcleo e a imagem de f;
© Classifique
(d) No caso de
-
definida por -
definida por ; -
definida por ; -
definida por ; -
definida por ; -
definida por ; -
definida porf: Z Z12 ;f(x)=barx -
definida porf: Z8 Z2 times Z4 ;f(barx)=(barx, barx) -
definida porf: R times R C .f(a, b)=a+b i