Considere a matriz A=[ll1 & 0 1 & 1]. Calcule: A^50.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a matriz 1 & 0 1 & 1 e precisamos calcular . A matéria aqui é potenciação de matrizes, e para resolver isso, vamos precisar entender como elevar uma matriz a uma potência alta de forma simplificada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que elevar uma matriz a uma potência significa multiplicar a matriz por ela mesma várias vezes. Mas fazer isso 50 vezes manualmente seria uma chatice, né? Então, vamos procurar um padrão.
Vamos calcular algumas potências menores de 1 & 0 1 & 1 para ver se aparece um padrão:
  • 1 & 0 2 & 1
  • 1 & 0 3 & 1
Legal, percebeu o que tá rolando? A cada potência, o número na posição aumenta em 1, enquanto os outros números permanecem iguais.

Passo 3

Então, dá pra generalizar isso! Parece que:
A^n = 1 & 0 n & 1
Isso significa que, para qualquer potência , a matriz elevada fica com o número na posição e os outros números ficando 1 e 0 como na matriz original.

Resposta

Portanto, 1 & 0 50 & 1.

Exercícios relacionados

Encontre a equação do plano que contém o ponto M=(2,1,3) e que é perpendicular à reta r: x2=y-13=-z.
Determine a equação da reta interseção dos planos nos seguintes casos:
a) lx+2 y-z-1=0 x+y+1=0
Mostre que se f: A B é um isomorfismo de anéis, então a função inversa, f^-1: B A também é um isomorfismo de anéis.
Dica: Se f é uma bijeção, então, (teorema sobre funções invertíveis) é garantido que f^-1 existe. Resta provar que f^-1 satisfaz (HA1) e (HA2) da Definição 1.
Em cada item, considerando os anéis indicados com suas operações usuais, verifique:
(a) Se f é um homomorfismo de anéis;
Caso seja homomorfismo,
(b) Calcule o núcleo e a imagem de f;
© Classifique f, entre monomorfismo, epimorfismo ou isomorfismo de anéis.
(d) No caso de f ser um isomorfismo de anéis, encontre o homomorfismo inverso f^-1.
  1. f: Z times Z Z definida por f(x, y)=y-x
  2. f: Z Z times Z definida por f(x)=(2 x, 3 x);
  3. f: Q[raiz2] Q[raiz2] definida por f(a+b raiz2)=b-a raiz2;
  4. f: Q[raiz2] Q[raiz3] definida por f(a+b raiz2)=a+b raiz3;
  5. f: C M2(R) definida por f(a+b i)=[cca & -b b & a];
  6. f: R times R M3(R) definida por f(x, y)=[lllx & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & y];
  7. f: Z Z12 definida por f(x)=barx;
  8. f: Z8 Z2 times Z4 definida por f(barx)=(barx, barx);
  9. f: R times R C definida por f(a, b)=a+b i.