Em cada item, é dada a equação de uma elipse. Pede-se: ( i) as coordenadas dos focos e vértices; ( ii) o comprimento do eixo maior; ( iii) o comprimento do eixo menor; ( iv) esboço.
144 x^2+169 y^2=24336

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! A gente tem a equação da elipse: . Vamos precisar lembrar como é a forma padrão da equação da elipse e identificar os elementos principais como focos, vértices e os comprimentos dos eixos maior e menor.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão. A forma geral é:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Para isso, dividimos todos os termos da equação por 24336:
144 x^224336 + 169 y^224336 = 1
Simplificando as frações:
x^2169 + y^2144 = 1

Passo 3

Agora, identificamos os valores de a^2 = 169 e b^2 = 144 e . Aqui:
Então, e .

Passo 4

Como , isso significa que o eixo maior está na direção do eixo x. Os vértices da elipse estão localizados a uma distância do centro, que por padrão está na origem .

Passo 5

As coordenadas dos vértices são:
(pm a, 0) = (pm 13, 0)
Então, os vértices são e .

Passo 6

Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
c = raiza^2 - b^2 = raiz169 - 144 = raiz25 = 5
Então, os focos estão a uma distância do centro.

Passo 7

As coordenadas dos focos são:
(pm c, 0) = (pm 5, 0)
Portanto, os focos estão em e .

Passo 8

O comprimento do eixo maior é 2 times 13 = 26 :

Passo 9

O comprimento do eixo menor é 2 times 12 = 24 :

Resposta

(i) Vértices: e ; Focos: e .
(ii) Comprimento do eixo maior: 26 unidades.
(iii) Comprimento do eixo menor: 24 unidades.
(iv) Esboço: Uma elipse centrada na origem com vértices em e , e focos em e , estendendo-se 12 unidades acima e abaixo do centro.

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