Determine a equação da parábola que possui foco F=(4,2) e reta diretriz diretriz d: x=-6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma parábola que tem como foco o ponto e a reta diretriz . Para isso, vamos usar alguns conceitos de geometria analítica sobre parábolas, que nos dizem como relacionar o foco e a diretriz para achar a equação da parábola.

Passo 2

Primeiro, lembra que uma parábola é o conjunto de todos os pontos que estão equidistantes do foco e da diretriz. Isso significa que, para qualquer ponto na parábola, a distância até o foco deve ser igual à distância desse ponto até a diretriz .

Passo 3

Vamos calcular essas duas distâncias. A distância entre raiz(x - 4)^2 + (y - 2)^2 e o foco |x + 6| é dada pela fórmula da distância entre dois pontos:
Já a distância entre o ponto e a reta diretriz é a distância horizontal até essa linha, que é simplesmente:

Passo 4

Segundo a definição da parábola, essas duas distâncias são iguais. Então, vamos igualar as duas expressões:
raiz(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = |x + 6|
Para facilitar a resolução, vamos eliminar a raiz quadrada e o valor absoluto elevando ambos os lados ao quadrado:
(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = (x + 6)^2

Passo 5

Agora, vamos expandir os termos e simplificar a equação:
x^2 - 8x + 16 + y^2 - 4y + 4 = x^2 + 12x + 36
Subtraindo -8x + 16 - 4y + 4 = 12x + 36 de ambos os lados e reorganizando os termos:
-20x - 4y - 16 = 0
Juntando os termos semelhantes:
5x + y + 4 = 0
Dividindo toda a equação por -4 para simplificar:
y = -5x - 4
Finalmente, isolando :

Resposta

A equação da parábola é .

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