Determine a equação da parábola que possui foco
e reta diretriz diretriz
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma parábola que tem como foco o ponto
e a reta diretriz
. Para isso, vamos usar alguns conceitos de geometria analítica sobre parábolas, que nos dizem como relacionar o foco e a diretriz para achar a equação da parábola.
Passo 2
Primeiro, lembra que uma parábola é o conjunto de todos os pontos que estão equidistantes do foco e da diretriz. Isso significa que, para qualquer ponto
na parábola, a distância até o foco
deve ser igual à distância desse ponto até a diretriz
.
Passo 3
Vamos calcular essas duas distâncias. A distância entre
e o foco
é dada pela fórmula da distância entre dois pontos:
Já a distância entre o ponto
e a reta diretriz
é a distância horizontal até essa linha, que é simplesmente:
Passo 4
Segundo a definição da parábola, essas duas distâncias são iguais. Então, vamos igualar as duas expressões:
Para facilitar a resolução, vamos eliminar a raiz quadrada e o valor absoluto elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 5
Agora, vamos expandir os termos e simplificar a equação:
Subtraindo
de ambos os lados e reorganizando os termos:
Juntando os termos semelhantes:
Dividindo toda a equação por -4 para simplificar:
Finalmente, isolando
:
Resposta
A equação da parábola é
.
Exercícios relacionados
Faça um esboço gráfico das regiões a seguir
;
Determine os pontos em que a reta
de equação
, intercepta a elipse de equação
. Faça um esboço no plano cartesiano assinalando os pontos de interseção.
Determine a equação da parábola que passa pelos pontos
e
.
Em cada item, é dada a equação de uma elipse. Pede-se: (
) as coordenadas dos focos e vértices; (
) o comprimento do eixo maior; (
) o comprimento do eixo menor; (
) esboço.