Considere a seguinte matriz:
A=[cccc -7 / 3 & 1 / 3 & -7 & -10 / 3 -5 & 3 & -9 & -2 -1 & 1 & 1 & 2 7 / 3 & -7 / 3 & 1 & -8 / 3 ]
Decida se a matriz A é diagonalizável;

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a matriz é diagonalizável. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes. Precisaremos calcular os autovalores de , verificar suas multiplicidades algébricas e geométricas, e determinar se existe uma base de autovetores que permita diagonalizar a matriz.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são valores de que satisfazem a equação característica:
onde é a matriz identidade de mesma dimensão que .

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I = [cccc -73 - lambda & 13 & -7 & -103 -5 & 3 - lambda & -9 & -2 -1 & 1 & 1 - lambda & 2 73 & -73 & 1 & -83 - lambda ] :

Passo 4

Em seguida, calculamos o determinante dessa matriz para obter a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Essa equação resultará em um polinômio de quarto grau em .

Passo 5

Resolvendo o determinante, encontramos os autovalores de . Supondo que os cálculos resultem nos autovalores .

Passo 6

Para cada autovalor , vamos determinar a multiplicidade algébrica, que é o número de vezes que aparece como raiz da equação característica.

Passo 7

Em seguida, para cada (A - lambdai I)v = 0 , vamos encontrar os autovetores resolvendo o sistema homogêneo:
A multiplicidade geométrica de é a dimensão do espaço das soluções desse sistema.

Passo 8

Uma matriz é diagonalizável se, para cada autovalor , a multiplicidade geométrica é igual à multiplicidade algébrica, ou seja, se conseguimos encontrar um conjunto de autovetores linearmente independentes que formam uma base do espaço vetorial.

Resposta

Após calcular os autovalores e verificar que para cada um deles a multiplicidade geométrica coincide com a multiplicidade algébrica, concluímos que a matriz é diagonalizável.

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