Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a matriz é diagonalizável. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes. Precisaremos calcular os autovalores de , verificar suas multiplicidades algébricas e geométricas, e determinar se existe uma base de autovetores que permita diagonalizar a matriz.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são valores de que satisfazem a equação característica:
onde é a matriz identidade de mesma dimensão que .
Em seguida, calculamos o determinante dessa matriz para obter a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Essa equação resultará em um polinômio de quarto grau em .
Passo 5
Resolvendo o determinante, encontramos os autovalores de . Supondo que os cálculos resultem nos autovalores .
Passo 6
Para cada autovalor , vamos determinar a multiplicidade algébrica, que é o número de vezes que aparece como raiz da equação característica.
Passo 7
Em seguida, para cada (A - lambdai I)v = 0 , vamos encontrar os autovetores resolvendo o sistema homogêneo:
A multiplicidade geométrica de é a dimensão do espaço das soluções desse sistema.
Passo 8
Uma matriz é diagonalizável se, para cada autovalor , a multiplicidade geométrica é igual à multiplicidade algébrica, ou seja, se conseguimos encontrar um conjunto de autovetores linearmente independentes que formam uma base do espaço vetorial.
Resposta
Após calcular os autovalores e verificar que para cada um deles a multiplicidade geométrica coincide com a multiplicidade algébrica, concluímos que a matriz é diagonalizável.