Determine a equação da parábola que passa pelos pontos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar a equação de uma parábola que passa pelos pontos
,
e
. Vamos usar conhecimentos básicos de geometria analítica, especificamente sobre equações de parábolas. Para isso, precisamos entender a forma geral da equação de uma parábola e como usar os pontos dados para encontrar os coeficientes dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma parábola é dada por:
Aqui,
,
e
são coeficientes que determinam a forma e a posição da parábola.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar os valores de
,
e
que fazem com que a parábola passe pelos três pontos dados:
,
e
. Para isso, vamos substituir as coordenadas desses pontos na equação geral da parábola e formar um sistema de equações.
Passo 4
Vamos começar com o ponto
. Substituindo
e
na equação da parábola:
Ou seja, descobrimos que
.
Passo 5
Agora, vamos substituir o ponto
na equação da parábola. Sabendo que
, temos:
Passo 6
Em seguida, substituímos o ponto
na equação da parábola:
Passo 7
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Podemos resolver esse sistema por substituição ou eliminação. Vamos usar a substituição.
Passo 8
Da Equação 1, isolamos
:
Agora, substituímos esse valor de
na Equação 2:
Passo 9
Agora que sabemos que
, substituímos esse valor na expressão para
que encontramos antes:
Resposta
A equação da parábola que passa pelos pontos
,
e
é:
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.
Faça um esboço gráfico das regiões a seguir
;
Em cada item, é dada a equação de uma elipse. Pede-se: (
) as coordenadas dos focos e vértices; (
) o comprimento do eixo maior; (
) o comprimento do eixo menor; (
) esboço.
Considere o subespaço:
Complete uma base de
para formar uma base de
.