Determine a equação da parábola que passa pelos pontos (0,1),(1,0) e (3,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar a equação de uma parábola que passa pelos pontos (0,1), (1,0) e (3,0). Vamos usar conhecimentos básicos de geometria analítica, especificamente sobre equações de parábolas. Para isso, precisamos entender a forma geral da equação de uma parábola e como usar os pontos dados para encontrar os coeficientes dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma parábola é dada por:
y = ax^2 + bx + c
Aqui, a, b e c são coeficientes que determinam a forma e a posição da parábola.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar os valores de a, b e c que fazem com que a parábola passe pelos três pontos dados: (0,1), (1,0) e (3,0). Para isso, vamos substituir as coordenadas desses pontos na equação geral da parábola e formar um sistema de equações.

Passo 4

Vamos começar com o ponto (0,1). Substituindo x=0 e y=1 na equação da parábola:
1 = a(0)^2 + b(0) + c 1 = c
Ou seja, descobrimos que c = 1.

Passo 5

Agora, vamos substituir o ponto (1,0) na equação da parábola. Sabendo que c = 1, temos:
0 = a(1)^2 + b(1) + 1 0 = a + b + 1 a + b = -1 (Equação 1) çã

Passo 6

Em seguida, substituímos o ponto (3,0) na equação da parábola:
0 = a(3)^2 + b(3) + 1 0 = 9a + 3b + 1 9a + 3b = -1 (Equação 2) çã

Passo 7

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
a + b = -1 (Equação 1) 9a + 3b = -1 (Equação 2) çãçã
Podemos resolver esse sistema por substituição ou eliminação. Vamos usar a substituição.

Passo 8

Da Equação 1, isolamos b:
b = -1 - a
Agora, substituímos esse valor de b na Equação 2:
9a + 3(-1 - a) = -1 9a - 3 - 3a = -1 6a - 3 = -1 6a = 2 a = 26 a = 13

Passo 9

Agora que sabemos que a = 13, substituímos esse valor na expressão para b que encontramos antes:
b = -1 - 13 b = -43

Resposta

A equação da parábola que passa pelos pontos (0,1), (1,0) e (3,0) é:
y = 13x^2 - 43x + 1

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x^24+y^216 >= 1;
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144 x^2+169 y^2=24336
Considere o subespaço:
W=(b-c, a+4 b-3 c, a+b,-2 a-3 b+c) in R^4 mid a, b, c in R
Complete uma base de W para formar uma base de R^4.