Beleza, vamos lá! Você tem o subespaço dentro de definido por:
Nosso objetivo aqui é completar uma base de para formar uma base completa de . Vamos usar conceitos de álgebra linear como subespaços, bases e dimensões para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar uma base para . Para isso, precisamos expressar os vetores de em termos das variáveis , e . Observamos que cada vetor em pode ser escrito como:
Podemos separar isso em combinações lineares das variáveis , e :
Passo 3
Agora, vamos verificar se os vetores que multiplicam , e são linearmente independentes. Esses vetores são:
Para isso, montamos uma matriz com esses vetores como colunas e calculamos o determinante ou reduzimos para a forma escalonada:
Após a redução, vemos que não há vetores redundantes, então eles são linearmente independentes. Portanto, forma uma base para .
Passo 4
Sabemos que tem dimensão 4, e nosso subespaço tem dimensão 3 (já que a base tem 3 vetores). Para completar uma base de , precisamos adicionar mais um vetor que não esteja em .
Passo 5
Vamos escolher um vetor que não seja combinação linear de 0 = b - c, 1 = a + 4b - 3c, 0 = a + b, 0 = -2a - 3b + c , e . Um jeito simples é pegar um vetor padrão, como , e verificar se está em .
Para ver se está em , tentamos resolver:
Resolvendo o sistema, percebemos que não há solução, então não está em .
Resposta
Então, uma base de , (0, 1, 1, -2), ; (1, 4, 1, -3), ; (-1, -3, 0, 1), ; (1, 0, 0, 0) , é: