Considere o subespaço:
W=(b-c, a+4 b-3 c, a+b,-2 a-3 b+c) in R^4 mid a, b, c in R
Complete uma base de W para formar uma base de R^4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem o subespaço W = (b - c, , a + 4b - 3c, , a + b, , -2a - 3b + c) in R^4 mid a, b, c in R dentro de definido por:
Nosso objetivo aqui é completar uma base de para formar uma base completa de . Vamos usar conceitos de álgebra linear como subespaços, bases e dimensões para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar uma base para (b - c, , a + 4b - 3c, , a + b, , -2a - 3b + c) . Para isso, precisamos expressar os vetores de a cdot (0, 1, 1, -2) + b cdot (1, 4, 1, -3) + c cdot (-1, -3, 0, 1) em termos das variáveis , e . Observamos que cada vetor em pode ser escrito como:
Podemos separar isso em combinações lineares das variáveis , e :

Passo 3

Agora, vamos verificar se os vetores que multiplicam v1 = (0, 1, 1, -2), v2 = (1, 4, 1, -3), v3 = (-1, -3, 0, 1) , 0 & 1 & -1 1 & 4 & -3 1 & 1 & 0 -2 & -3 & 1 e são linearmente independentes. Esses vetores são:
Para isso, montamos uma matriz com esses vetores como colunas e calculamos o determinante ou reduzimos para a forma escalonada:
Após a redução, vemos que não há vetores redundantes, então eles são linearmente independentes. Portanto, forma uma base para .

Passo 4

Sabemos que tem dimensão 4, e nosso subespaço tem dimensão 3 (já que a base tem 3 vetores). Para completar uma base de , precisamos adicionar mais um vetor que não esteja em .

Passo 5

Vamos escolher um vetor que não seja combinação linear de 0 = b - c, 1 = a + 4b - 3c, 0 = a + b, 0 = -2a - 3b + c , e . Um jeito simples é pegar um vetor padrão, como , e verificar se está em .
Para ver se está em , tentamos resolver:
Resolvendo o sistema, percebemos que não há solução, então não está em .

Resposta

Então, uma base de , (0, 1, 1, -2), ; (1, 4, 1, -3), ; (-1, -3, 0, 1), ; (1, 0, 0, 0) , é:

Exercícios relacionados

Em cada item, é dada a equação de uma elipse. Pede-se: ( i) as coordenadas dos focos e vértices; ( ii) o comprimento do eixo maior; ( iii) o comprimento do eixo menor; ( iv) esboço.
144 x^2+169 y^2=24336
Determine a equação da parábola que passa pelos pontos (0,1),(1,0) e (3,0).
Considere a seguinte matriz:
A=[cccc -7 / 3 & 1 / 3 & -7 & -10 / 3 -5 & 3 & -9 & -2 -1 & 1 & 1 & 2 7 / 3 & -7 / 3 & 1 & -8 / 3 ]
Decida se a matriz A é diagonalizável;
(a) Seja r uma reta tangente à elipse de equação x^2a^2+x^2b^2=1 no ponto (x1, y1). Mostre que a equação da reta r é dada por
x1 xa^2+y1 yb^2=1