Em cada item, é dado o termo geral da sequência a_n. Diga se a sequência é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule o limite.
© (-1)^(n+2)

Passo 1

Vamos dar uma olhada na questão! Temos uma sequência definida pelo termo geral . Nosso objetivo é descobrir se essa sequência é convergente (ou seja, se ela se aproxima de um valor específico) ou divergente (não se aproxima de nenhum valor específico). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sequências alternadas e seus comportamentos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da sequência: . Sabemos que a base elevada a diferentes potências gera padrões interessantes:
  • Se o expoente for par, .
  • Se o expoente for ímpar, í.
No caso da nossa sequência, o expoente é . Vamos ver como isso se comporta para diferentes valores de n:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • E assim por diante…
Percebemos que a sequência alterna entre -1 e 1 indefinidamente. Como ela não se aproxima de um único valor específico e continua mudando de sinal sem se estabilizar, dizemos que a sequência não converge para nenhum número. Portanto, a sequência é divergente.

Resposta

A sequência é divergente.

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Em cada item, é dado o termo geral da sequência a_n. Diga se a sequência é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule o limite.
(a) (4n^2 + 3n + 5) / (5n^2 - 9)
Seja (an)n in N uma sequência tal que
2 n+31+2 n <= an <= e^(4-8 n+12 n+6)
para todo n in N. Calcule lim n +infty an
Em cada item, é dado o termo geral da sequência a_n. Diga se a sequência é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule o limite.
(e) ln(n)/n
Em cada item, é dado o termo geral da sequência a_n. Diga se a sequência é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule o limite.
(g) cos(n pi)