Em cada item, é dado o termo geral da sequência
. Diga se a sequência é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule o limite.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá o termo geral de uma sequência, que é
. Nosso objetivo é descobrir se essa sequência é convergente ou divergente. Se for convergente, vamos calcular o limite dela. Para isso, vamos usar conceitos de análise de limites de sequências, especialmente focando nos termos de maior grau no numerador e denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser convergente ou divergente. Uma sequência é convergente se ela se aproxima de um número específico conforme o termo
cresce para o infinito. Caso contrário, ela é divergente.
Para calcular o limite da sequência quando
tende ao infinito, observamos os termos de maior grau no numerador e no denominador, porque eles dominam o comportamento da função conforme
aumenta.
Passo 3
No nosso caso, o termo de maior grau no numerador é
e no denominador é
. Podemos simplificar a expressão dividindo todos os termos por
:
À medida que
tende ao infinito,
e
no numerador, assim como
no denominador, tendem a zero. Então, a expressão simplifica para:
Passo 4
Como conseguimos um valor definido para o limite da sequência, podemos concluir que a sequência é convergente. O limite, portanto, é
.
Resposta
A sequência é convergente e o seu limite é
.
Exercícios relacionados
Seja
uma sequência tal que
para todo
. Calcule
Considere a sequência
cujo termo geral é
. Mostre que
, para todo
. Calcule
.
Em cada item, é dado o termo geral da sequência
. Diga se a sequência é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule o limite.
©
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Em cada item, é dado o termo geral da sequência
. Diga se a sequência é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule o limite.
(e)
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