Em cada item, é dado o termo geral da sequência a_n. Diga se a sequência é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule o limite.
(a) (4n^2 + 3n + 5) / (5n^2 - 9)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá o termo geral de uma sequência, que é . Nosso objetivo é descobrir se essa sequência é convergente ou divergente. Se for convergente, vamos calcular o limite dela. Para isso, vamos usar conceitos de análise de limites de sequências, especialmente focando nos termos de maior grau no numerador e denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser convergente ou divergente. Uma sequência é convergente se ela se aproxima de um número específico conforme o termo n cresce para o infinito. Caso contrário, ela é divergente.
Para calcular o limite da sequência quando n tende ao infinito, observamos os termos de maior grau no numerador e no denominador, porque eles dominam o comportamento da função conforme n aumenta.

Passo 3

No nosso caso, o termo de maior grau no numerador é e no denominador é . Podemos simplificar a expressão dividindo todos os termos por n^2:
À medida que n tende ao infinito, e no numerador, assim como no denominador, tendem a zero. Então, a expressão simplifica para:

Passo 4

Como conseguimos um valor definido para o limite da sequência, podemos concluir que a sequência é convergente. O limite, portanto, é 4/5.

Resposta

A sequência é convergente e o seu limite é 4/5.

Exercícios relacionados

Seja (an)n in N uma sequência tal que
2 n+31+2 n <= an <= e^(4-8 n+12 n+6)
para todo n in N. Calcule lim n +infty an
Considere a sequência (xn) cujo termo geral é xn=n!n^n. Mostre que 0, para todo n in N. Calcule lim n +infty xn.
Em cada item, é dado o termo geral da sequência a_n. Diga se a sequência é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule o limite.
© (-1)^(n+2)
Em cada item, é dado o termo geral da sequência a_n. Diga se a sequência é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule o limite.
(e) ln(n)/n