Seja
uma sequência tal que
para todo
. Calcule
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência
que está limitada por duas outras sequências:
Nosso objetivo é calcular o limite de
quando
vai para o infinito. Para isso, vamos usar o Teorema do Sanduíche, que diz que se uma sequência está limitada por duas sequências que têm o mesmo limite, então a sequência intermediária também tem esse limite. Vamos precisar calcular os limites das duas sequências que limitam
.
Passo 2
Vamos calcular o limite inferior, ou seja, o limite de
quando
tende ao infinito.
Observando os termos de maior grau no numerador e no denominador, ambos são de grau 1 (termos em
). Nesse caso, o limite da fração é o coeficiente do
. Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite superior, que é o limite de
quando
tende ao infinito.
Primeiro, vamos calcular o limite do expoente:
Simplificando a fração:
Portanto:
Então, o limite da função exponencial é:
Passo 4
Agora, já que os limites das duas sequências que limitam
são ambos iguais a 1, podemos concluir, pelo Teorema do Sanduíche, que: