Seja (an)n in N uma sequência tal que
2 n+31+2 n <= an <= e^(4-8 n+12 n+6)
para todo n in N. Calcule lim n +infty an

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência 2n+31+2n <= an <= e^(4 - 8n+12n+6) que está limitada por duas outras sequências:
Nosso objetivo é calcular o limite de quando vai para o infinito. Para isso, vamos usar o Teorema do Sanduíche, que diz que se uma sequência está limitada por duas sequências que têm o mesmo limite, então a sequência intermediária também tem esse limite. Vamos precisar calcular os limites das duas sequências que limitam .

Passo 2

Vamos calcular o limite inferior, ou seja, o limite de limn to +infty 2n+31+2n = 22 = 1 quando tende ao infinito.
Observando os termos de maior grau no numerador e no denominador, ambos são de grau 1 (termos em ). Nesse caso, o limite da fração é o coeficiente do . Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite superior, que é o limite de limn to +infty (4 - 8n+12n+6) quando 8n+12n+6 = 8n2n cdot 1 + 18n1 + 62n = 4 cdot 1 + 01 + 0 = 4 tende ao infinito.
Primeiro, vamos calcular o limite do expoente:
limn to +infty (4 - 8n+12n+6) = 4 - 4 = 0
Simplificando a fração:
limn to +infty e^(4 - 8n+12n+6) = e^0 = 1
Portanto:
Então, o limite da função exponencial é:

Passo 4

Agora, já que os limites das duas sequências que limitam limn to +infty an = 1 são ambos iguais a 1, podemos concluir, pelo Teorema do Sanduíche, que:

Resposta

limn to +infty an = 1

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