Em cada item, é dado o termo geral da sequência
. Diga se a sequência é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule o limite.
(h)
(h)
Passo 1
Beleza! A gente tem uma sequência definida por
. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa sequência vai para um limite específico (convergente) ou não (divergente). Para isso, vamos analisar o comportamento de
quando
fica bem grande, tipo indo para o infinito. Vamos usar conceitos de limites e propriedades das funções exponenciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do expoente:
. Para entender o que acontece quando
cresce muito, a gente dá uma olhada nos termos que mais influenciam nessa fração. No numerador,
é o termo de maior ordem, e no denominador, é o
.
Passo 3
Então, podemos simplificar a fração
dividindo tanto o numerador quanto o denominador por
:
Agora, quando
vai para o infinito,
e
vão para 0. Então, a fração simplifica para:
Passo 4
Com isso, nosso expoente fica:
Então, para valores muito grandes de
, o termo geral da sequência
se aproxima de
.
Passo 5
Como a sequência
está se aproximando de um número fixo,
, quando
cresce sem limites, podemos concluir que a sequência é convergente. O limite dessa sequência é exatamente esse valor para o qual ela está se aproximando.
Resposta
A sequência é convergente e o seu limite é
.
Exercícios relacionados
Diga se as afirmações são verdadeiras ou falsas.
( ) A sequência é limitada.
( ) A sequência é convergente.
( ) Toda sequência convergente é limitada.
( ) A série harmônica é convergente.
( ) A série é convergente.
( ) A série é convergente.
( ) A série é convergente.
( ) A série é convergente.
( ) A série é convergente.
( ) A sequência
( ) A sequência
( ) Toda sequência convergente é limitada.
( ) A série harmônica
( ) A série
( ) A série
( ) A série
( ) A série
( ) A série
Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(m)
(m)
Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(a)
(a)
Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(d)
(d)