Em cada item, é dado o termo geral da sequência a_n. Diga se a sequência é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule o limite.
(h) e^(3 + (3n + 1)/(n + 6))

Passo 1

Beleza! A gente tem uma sequência definida por . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa sequência vai para um limite específico (convergente) ou não (divergente). Para isso, vamos analisar o comportamento de a_n quando n fica bem grande, tipo indo para o infinito. Vamos usar conceitos de limites e propriedades das funções exponenciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do expoente: . Para entender o que acontece quando n cresce muito, a gente dá uma olhada nos termos que mais influenciam nessa fração. No numerador, é o termo de maior ordem, e no denominador, é o n.

Passo 3

Então, podemos simplificar a fração dividindo tanto o numerador quanto o denominador por n:
Agora, quando n vai para o infinito, 1/n e vão para 0. Então, a fração simplifica para:

Passo 4

Com isso, nosso expoente fica:
Então, para valores muito grandes de n, o termo geral da sequência a_n se aproxima de .

Passo 5

Como a sequência a_n está se aproximando de um número fixo, , quando n cresce sem limites, podemos concluir que a sequência é convergente. O limite dessa sequência é exatamente esse valor para o qual ela está se aproximando.

Resposta

A sequência é convergente e o seu limite é .

Exercícios relacionados

Diga se as afirmações são verdadeiras ou falsas.
( ) A sequência (-1)^n é limitada.
( ) A sequência (-1)^n é convergente.
( ) Toda sequência convergente é limitada.
( ) A série harmônica sumn=1^infty 1n é convergente.
( ) A série sumn=1^infty 1raizn é convergente.
( ) A série sumn=1^infty 1n^3 é convergente.
( ) A série sumn=1^infty 4^n+13^n é convergente.
( ) A série sumn=1^infty n^2+n-11+2 n+n^2 é convergente.
( ) A série sumn=1^infty 2^n-13^n é convergente.
Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(m) sumn=1^infty(2 n+3n+1)^n
Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(a) sumn=1^infty 1n 2^n
Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(d) sumn=1^infty e^-n / 2