Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(d) sumn=1^infty e^-n / 2

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos que analisar a série sumn=1^infty e^-n / 2 e determinar se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar o critério da série geométrica, que é uma ferramenta bem útil para esse tipo de análise.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral:
sumn=0^infty ar^n
onde:
  • é o primeiro termo da série.
  • é a razão comum entre os termos.

Passo 3

Observando a nossa série, podemos reescrever o termo geral e^-n/2 = (e^-1/2)^n de uma forma que se pareça com a forma de uma série geométrica:
sumn=1^infty (e^-1/2)^n
Assim, nossa série fica:
Aqui, vemos que e .

Passo 4

Agora, vamos aplicar o critério da série geométrica. Esse critério nos diz que:
  • Se , a série geométrica converge.
  • Se , a série geométrica diverge.

Passo 5

Vamos calcular o valor de r = e^-1/2 approx 0,6065 :
Como , temos que .

Resposta

Portanto, de acordo com o critério da série geométrica, a série sumn=1^infty e^-n / 2 é convergente.

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