Diga se as afirmações são verdadeiras ou falsas.
( ) A sequência (-1)^n é limitada.
( ) A sequência (-1)^n é convergente.
( ) Toda sequência convergente é limitada.
( ) A série harmônica sumn=1^infty 1n é convergente.
( ) A série sumn=1^infty 1raizn é convergente.
( ) A série sumn=1^infty 1n^3 é convergente.
( ) A série sumn=1^infty 4^n+13^n é convergente.
( ) A série sumn=1^infty n^2+n-11+2 n+n^2 é convergente.
( ) A série sumn=1^infty 2^n-13^n é convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício com várias afirmações sobre sequências e séries matemáticas. Nosso objetivo é dizer se cada uma delas é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos precisar entender conceitos como sequência limitada, convergência de sequências e séries, além de saber como determinar se uma série é convergente ou divergente.

Passo 2

(1) A sequência é limitada.
Uma sequência é limitada se todos os seus termos estão dentro de um certo intervalo. Olhando para , vemos que os termos alternam entre -1 e 1. Então, os valores nunca saem desse intervalo, ou seja, estão sempre entre -1 e 1. Portanto, essa sequência é limitada.

Passo 3

(2) A sequência é convergente.
Para uma sequência ser convergente, ela deve se aproximar de um único valor conforme cresce. No caso de , os termos alternam entre -1 e 1 indefinidamente, sem se estabilizar em um único número. Então, essa sequência não converge.

Passo 4

(3) Toda sequência convergente é limitada.
Essa é uma propriedade importante das sequências. Se uma sequência converge para um certo limite, então seus termos não podem “fugir” para o infinito; eles devem ficar cada vez mais próximos desse limite. Portanto, toda sequência que converge é necessariamente limitada.

Passo 5

(4) A série harmônica é convergente.
A série harmônica é conhecida por divergir. Mesmo que os termos vão diminuindo, a soma infinita desses termos cresce sem limite. Então, a série harmônica não converge.

Passo 6

(5) A série é convergente.
Para determinar a convergência, podemos usar o teste da integral ou comparar com a série p. Aqui, , que é menor que 1. Sabemos que a série p converge quando . Portanto, essa série também diverge.

Passo 7

(6) A série é convergente.
Usando o teste da série p, aqui , que é maior que 1. Então, a série p converge. Logo, essa série é convergente.

Passo 8

(7) A série é convergente.
Podemos simplificar os termos: . Como a razão , a série geométrica diverge.

Passo 9

(8) A série é convergente.
Simplificando o termo geral: quando cresce. A série então se comporta como , que claramente diverge.

Passo 10

(9) A série é convergente.
Podemos reescrever os termos: . Isso é uma série geométrica com razão , então ela converge.

Resposta

  1. Verdadeira
  2. Falsa
  3. Verdadeira
  4. Falsa
  5. Falsa
  6. Verdadeira
  7. Falsa
  8. Falsa
  9. Verdadeira

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(m) sumn=1^infty(2 n+3n+1)^n
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(j) sumn=1^infty n3^n.
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