Diga se as afirmações são verdadeiras ou falsas.
( ) A sequência
é limitada.
( ) A sequência
é convergente.
( ) Toda sequência convergente é limitada.
( ) A série harmônica
é convergente.
( ) A série
é convergente.
( ) A série
é convergente.
( ) A série
é convergente.
( ) A série
é convergente.
( ) A série
é convergente.
( ) A sequência
( ) A sequência
( ) Toda sequência convergente é limitada.
( ) A série harmônica
( ) A série
( ) A série
( ) A série
( ) A série
( ) A série
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício com várias afirmações sobre sequências e séries matemáticas. Nosso objetivo é dizer se cada uma delas é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos precisar entender conceitos como sequência limitada, convergência de sequências e séries, além de saber como determinar se uma série é convergente ou divergente.
Passo 2
(1) A sequência
é limitada.
Uma sequência é limitada se todos os seus termos estão dentro de um certo intervalo. Olhando para
, vemos que os termos alternam entre -1 e 1. Então, os valores nunca saem desse intervalo, ou seja, estão sempre entre -1 e 1. Portanto, essa sequência é limitada.
Passo 3
(2) A sequência
é convergente.
Para uma sequência ser convergente, ela deve se aproximar de um único valor conforme
cresce. No caso de
, os termos alternam entre -1 e 1 indefinidamente, sem se estabilizar em um único número. Então, essa sequência não converge.
Passo 4
(3) Toda sequência convergente é limitada.
Essa é uma propriedade importante das sequências. Se uma sequência converge para um certo limite, então seus termos não podem “fugir” para o infinito; eles devem ficar cada vez mais próximos desse limite. Portanto, toda sequência que converge é necessariamente limitada.
Passo 5
(4) A série harmônica
é convergente.
A série harmônica é conhecida por divergir. Mesmo que os termos vão diminuindo, a soma infinita desses termos cresce sem limite. Então, a série harmônica não converge.
Passo 6
(5) A série
é convergente.
Para determinar a convergência, podemos usar o teste da integral ou comparar com a série p. Aqui,
, que é menor que 1. Sabemos que a série p converge quando
. Portanto, essa série também diverge.
Passo 7
(6) A série
é convergente.
Usando o teste da série p, aqui
, que é maior que 1. Então, a série p converge. Logo, essa série é convergente.
Passo 8
(7) A série
é convergente.
Podemos simplificar os termos:
. Como a razão
, a série geométrica diverge.
Passo 9
(8) A série
é convergente.
Simplificando o termo geral:
quando
cresce. A série então se comporta como
, que claramente diverge.
Passo 10
(9) A série
é convergente.
Podemos reescrever os termos:
. Isso é uma série geométrica com razão
, então ela converge.
Resposta
- Verdadeira
- Falsa
- Verdadeira
- Falsa
- Falsa
- Verdadeira
- Falsa
- Falsa
- Verdadeira
Exercícios relacionados
Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(m)
(m)
Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(j) .
(j)
Em cada item, é dado o termo geral da sequência
. Diga se a sequência é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule o limite.
(h)
(h)
Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(a)
(a)