Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(m) sumn=1^infty(2 n+3n+1)^n

Passo 1

Vamos analisar a série . Nosso objetivo é determinar se essa série é convergente ou divergente. Para isso, vamos utilizar o Teste da Raiz, que é uma ferramenta poderosa no estudo de séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Raiz. Esse teste afirma que, para uma série L = limn to infty raiz[n]|an| , calculamos o limite:
  • Se , a série é convergente.
  • Se , a série é divergente.
  • Se , o teste é inconclusivo e precisamos usar outro método.

Passo 3

Aplicando o Teste da Raiz à nossa série, temos:
an = (2n + 3n + 1)^n
Vamos calcular:
raiz[n]|an| = raiz[n](2n + 3n + 1)^n = 2n + 3n + 1

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite quando L = limn to infty 2n + 3n + 1 tende ao infinito:
L = limn to infty 2 + 3n1 + 1n = 2 + 01 + 0 = 2
Podemos dividir tanto o numerador quanto o denominador por :

Passo 5

Interpretando o resultado:
L = 2
Como , de acordo com o Teste da Raiz, a série é divergente.

Resposta

A série é divergente.

Exercícios relacionados

Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(j) sumn=1^infty n3^n.
Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(f) sumn=1^infty 9^n7^n-1
Diga se as afirmações são verdadeiras ou falsas.
( ) A sequência (-1)^n é limitada.
( ) A sequência (-1)^n é convergente.
( ) Toda sequência convergente é limitada.
( ) A série harmônica sumn=1^infty 1n é convergente.
( ) A série sumn=1^infty 1raizn é convergente.
( ) A série sumn=1^infty 1n^3 é convergente.
( ) A série sumn=1^infty 4^n+13^n é convergente.
( ) A série sumn=1^infty n^2+n-11+2 n+n^2 é convergente.
( ) A série sumn=1^infty 2^n-13^n é convergente.
Em cada item, é dado o termo geral da sequência a_n. Diga se a sequência é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule o limite.
(h) e^(3 + (3n + 1)/(n + 6))