Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(m) sumn=1^infty(2 n+3n+1)^n

Passo 1

Vamos analisar a série . Nosso objetivo é determinar se essa série é convergente ou divergente. Para isso, vamos utilizar o Teste da Raiz, que é uma ferramenta poderosa no estudo de séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Raiz. Esse teste afirma que, para uma série L = limn to infty raiz[n]|an| , calculamos o limite:
  • Se , a série é convergente.
  • Se , a série é divergente.
  • Se , o teste é inconclusivo e precisamos usar outro método.

Passo 3

Aplicando o Teste da Raiz à nossa série, temos:
an = (2n + 3n + 1)^n
Vamos calcular:
raiz[n]|an| = raiz[n](2n + 3n + 1)^n = 2n + 3n + 1

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite quando L = limn to infty 2n + 3n + 1 tende ao infinito:
L = limn to infty 2 + 3n1 + 1n = 2 + 01 + 0 = 2
Podemos dividir tanto o numerador quanto o denominador por :

Passo 5

Interpretando o resultado:
L = 2
Como , de acordo com o Teste da Raiz, a série é divergente.

Resposta

A série é divergente.

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