Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a série é convergente ou divergente. Estamos lidando com séries infinitas aqui, e para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão (também conhecido como Teste de D’Alembert). Esse teste é super útil para ver se uma série infinita vai somar a um número finito (convergente) ou não (divergente).
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste diz o seguinte: para uma série , calcule o limite .
Se , a série é convergente.
Se , a série é divergente.
Se , o teste não dá resposta, e precisamos usar outro teste.
Passo 3
Agora, vamos aplicar esse teste à nossa série. Aqui, cada termo da série é an+1an = 1(n+1) 2^n+11n 2^n = n 2^n(n+1) 2^n+1 = n(n+1) cdot 2 .
Então, precisamos calcular :
Passo 4
Simplificando a expressão:
n(n+1) cdot 2 = n2(n+1) = 12 cdot nn+1
Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty 12 cdot nn+1 tende ao infinito:
L = 12 cdot 1 = 12
Sabemos que tende a 1 quando vai para o infinito, então:
Passo 5
Agora, com , que é menor que 1, de acordo com o Teste da Razão, a série é convergente.