Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(a) sumn=1^infty 1n 2^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a série é convergente ou divergente. Estamos lidando com séries infinitas aqui, e para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão (também conhecido como Teste de D’Alembert). Esse teste é super útil para ver se uma série infinita vai somar a um número finito (convergente) ou não (divergente).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste diz o seguinte: para uma série , calcule o limite .
  • Se , a série é convergente.
  • Se , a série é divergente.
  • Se , o teste não dá resposta, e precisamos usar outro teste.

Passo 3

Agora, vamos aplicar esse teste à nossa série. Aqui, cada termo da série é an+1an = 1(n+1) 2^n+11n 2^n = n 2^n(n+1) 2^n+1 = n(n+1) cdot 2 .
Então, precisamos calcular :

Passo 4

Simplificando a expressão:
n(n+1) cdot 2 = n2(n+1) = 12 cdot nn+1
Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty 12 cdot nn+1 tende ao infinito:
L = 12 cdot 1 = 12
Sabemos que tende a 1 quando vai para o infinito, então:

Passo 5

Agora, com , que é menor que 1, de acordo com o Teste da Razão, a série é convergente.

Resposta

A série é convergente.

Exercícios relacionados

Em cada item, é dado o termo geral da sequência a_n. Diga se a sequência é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule o limite.
(h) e^(3 + (3n + 1)/(n + 6))
Diga se as afirmações são verdadeiras ou falsas.
( ) A sequência (-1)^n é limitada.
( ) A sequência (-1)^n é convergente.
( ) Toda sequência convergente é limitada.
( ) A série harmônica sumn=1^infty 1n é convergente.
( ) A série sumn=1^infty 1raizn é convergente.
( ) A série sumn=1^infty 1n^3 é convergente.
( ) A série sumn=1^infty 4^n+13^n é convergente.
( ) A série sumn=1^infty n^2+n-11+2 n+n^2 é convergente.
( ) A série sumn=1^infty 2^n-13^n é convergente.
Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(d) sumn=1^infty e^-n / 2
Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(g) sumn=1^infty sen n2^n+n^2