Em cada item, é dado o termo geral da sequência a_n. Diga se a sequência é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule o limite.
(f) (n^2 + 3) / n

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para analisar a sequência dada pelo termo geral . O objetivo é determinar se essa sequência é convergente (isto é, se ela se aproxima de um valor específico à medida que cresce) ou divergente (não se aproxima de nenhum valor específico). Para isso, utilizaremos conceitos de limites de sequências e simplificação algébrica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência para facilitar a análise do seu comportamento quando cresce.
Podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
Isso simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de cada termo separadamente à medida que tende ao infinito.
  1. Termo : À medida que aumenta, também aumenta sem limites, ou seja, .
  2. Termo : À medida que aumenta, diminui e se aproxima de 0, já que estamos dividindo um número fixo (3) por um número cada vez maior.

Passo 4

Somando os comportamentos dos dois termos:
Quando :
Portanto:

Passo 5

Como tende ao infinito à medida que cresce, isso significa que a sequência não se aproxima de nenhum valor fixo. Portanto, a sequência é divergente.

Resposta

A sequência é divergente.

Exercícios relacionados

Considere as afirmações abaixo:
(I) A série sumn=1^infty 1n é convergente.
(II) A série sumn=1^infty 4n(n+1) converge para 4 .
O que pode ser dito a respeito de tais afirmações?
(a) Apenas (I) está correta.
(b) Ambas estão corretas.
© Apenas (II) está correta.
(d) Ambas estão incorretas.
Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(k) sumn=1^infty (-2)^n n3^n
Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(b) sumn=1^infty 1n-12
Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(h) sumn=1^infty 4 cdot 3^n+15^n-1