Em cada item, é dado o termo geral da sequência
. Diga se a sequência é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule o limite.
(f)
(f)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para analisar a sequência dada pelo termo geral
. O objetivo é determinar se essa sequência é convergente (isto é, se ela se aproxima de um valor específico à medida que
cresce) ou divergente (não se aproxima de nenhum valor específico). Para isso, utilizaremos conceitos de limites de sequências e simplificação algébrica.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência para facilitar a análise do seu comportamento quando
cresce.
Podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
Isso simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento de cada termo separadamente à medida que
tende ao infinito.
-
Termo
: À medida que aumenta, também aumenta sem limites, ou seja, . -
Termo
: À medida que aumenta, diminui e se aproxima de 0, já que estamos dividindo um número fixo (3) por um número cada vez maior.
Passo 4
Somando os comportamentos dos dois termos:
Quando
:
Portanto:
Passo 5
Como
tende ao infinito à medida que
cresce, isso significa que a sequência não se aproxima de nenhum valor fixo. Portanto, a sequência é divergente.
Resposta
A sequência é divergente.