Em cada item, é dado o termo geral da sequência
. Diga se a sequência é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule o limite.
(f)
(f)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para analisar a sequência dada pelo termo geral
. O objetivo é determinar se essa sequência é convergente (isto é, se ela se aproxima de um valor específico à medida que
cresce) ou divergente (não se aproxima de nenhum valor específico). Para isso, utilizaremos conceitos de limites de sequências e simplificação algébrica.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência para facilitar a análise do seu comportamento quando
cresce.
Podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
Isso simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento de cada termo separadamente à medida que
tende ao infinito.
-
Termo
: À medida que aumenta, também aumenta sem limites, ou seja, . -
Termo
: À medida que aumenta, diminui e se aproxima de 0, já que estamos dividindo um número fixo (3) por um número cada vez maior.
Passo 4
Somando os comportamentos dos dois termos:
Quando
:
Portanto:
Passo 5
Como
tende ao infinito à medida que
cresce, isso significa que a sequência não se aproxima de nenhum valor fixo. Portanto, a sequência é divergente.
Resposta
A sequência é divergente.
Exercícios relacionados
Considere as afirmações abaixo:
(I) A série é convergente.
(II) A série converge para 4 .
O que pode ser dito a respeito de tais afirmações?
(a) Apenas (I) está correta.
(b) Ambas estão corretas.
© Apenas (II) está correta.
(d) Ambas estão incorretas.
(I) A série
(II) A série
O que pode ser dito a respeito de tais afirmações?
(a) Apenas (I) está correta.
(b) Ambas estão corretas.
© Apenas (II) está correta.
(d) Ambas estão incorretas.
Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(k)
(k)
Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(b)
(b)
Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(h)
(h)