Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(h) sumn=1^infty 4 cdot 3^n+15^n-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série sumn=1^infty 4 cdot 3^n+15^n-1 converge ou diverge. Para isso, vamos usar o critério da série geométrica, que é bem útil quando os termos da série têm uma razão constante entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série pra deixar mais fácil de trabalhar:
4 cdot 3^n+15^n-1 = 4 cdot 3 cdot 3^n5^-1 cdot 5^n = 4 cdot 3 cdot 5 cdot (35)^n = 60 cdot (35)^n
Então, a série fica:
sumn=1^infty 60 cdot (35)^n

Passo 3

Agora, identificamos que essa é uma série geométrica, que tem geral a forma sumn=1^infty a cdot r^n, onde:
  • é o primeiro termo
  • é a razão
No nosso caso, e .

Passo 4

O próximo passo é aplicar o critério de convergência da série geométrica:
  • Se , a série converge
  • Se , a série diverge

Passo 5

Vamos verificar a razão | 35 | = 0,6 < 1 :
Como o valor absoluto de é menor que 1, segundo o critério, a série converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 4 cdot 3^n+15^n-1 converge.

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Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(b) sumn=1^infty 1n-12
Em cada item, é dado o termo geral da sequência a_n. Diga se a sequência é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule o limite.
(f) (n^2 + 3) / n
Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(l) sumn=1^infty n^23 n^2+8 n+1
Em cada item, é dado o termo geral da sequência a_n. Diga se a sequência é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule o limite.
(b) 1/n!