Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(k) sumn=1^infty (-2)^n n3^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para a gente determinar se a série infinita converge ou diverge. Isso faz parte do estudo de séries numéricas, mais especificamente analisando sua convergência ou divergência. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica bem útil para esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série infinita comparando o termo geral L = limn to infty | an+1an | com . A regra básica é a seguinte:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste não consegue dizer nada.
Vamos aplicar isso à nossa série.

Passo 3

Primeiro, identificamos o termo geral da série:
an = (-2)^n n3^n
Agora, vamos calcular an+1an = (-2)^n+1 (n+1)3^n+1 times 3^n(-2)^n n = (-2) cdot (n+1)3 cdot n :
| an+1an | = | 2(n+1)3n | = 2(n+1)3n
Agora, vamos calcular o valor absoluto:
L = limn to infty 2(n+1)3n = limn to infty 2n + 23n = 23
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:

Resposta

Como , segundo o Teste da Razão, a série é convergente.

Exercícios relacionados

Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(i) sumn=1^infty(7 n+38 n+9)^n
Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(g) sumn=1^infty sen n2^n+n^2
Considere as afirmações abaixo:
(I) A série sumn=1^infty 1n é convergente.
(II) A série sumn=1^infty 4n(n+1) converge para 4 .
O que pode ser dito a respeito de tais afirmações?
(a) Apenas (I) está correta.
(b) Ambas estão corretas.
© Apenas (II) está correta.
(d) Ambas estão incorretas.
Em cada item, é dado o termo geral da sequência a_n. Diga se a sequência é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule o limite.
(f) (n^2 + 3) / n