Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(k)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para a gente determinar se a série infinita converge ou diverge. Isso faz parte do estudo de séries numéricas, mais especificamente analisando sua convergência ou divergência. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica bem útil para esse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série infinita comparando o termo geral com . A regra básica é a seguinte:
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste não consegue dizer nada.
Vamos aplicar isso à nossa série.
Passo 3
Primeiro, identificamos o termo geral da série:
an = (-2)^n n3^n
Agora, vamos calcular an+1an = (-2)^n+1 (n+1)3^n+1 times 3^n(-2)^n n = (-2) cdot (n+1)3 cdot n :
| an+1an | = | 2(n+1)3n | = 2(n+1)3n
Agora, vamos calcular o valor absoluto:
L = limn to infty 2(n+1)3n = limn to infty 2n + 23n = 23
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Resposta
Como , segundo o Teste da Razão, a série é convergente.