Considere as afirmações abaixo:
(I) A série sumn=1^infty 1n é convergente.
(II) A série sumn=1^infty 4n(n+1) converge para 4 .
O que pode ser dito a respeito de tais afirmações?
(a) Apenas (I) está correta.
(b) Ambas estão corretas.
© Apenas (II) está correta.
(d) Ambas estão incorretas.

Passo 1

Vamos analisar as duas afirmações sobre séries matemáticas. O objetivo é verificar se cada uma delas está correta ou não. Para isso, vamos utilizar conceitos de convergência de séries e séries telescópicas. Precisaremos verificar se cada série converge e, no caso da segunda série, determinar seu valor.

Passo 2

Analisando a afirmação (I):
A série dada é , conhecida como série harmônica.
Conceito: A série harmônica é uma série infinita onde cada termo é o inverso do número natural correspondente.
Verificação de convergência: Sabemos que a série harmônica não converge; ela diverge para o infinito. Isso pode ser demonstrado pelo teste da comparação com a integral , que também diverge.
Portanto, a afirmação (I) está incorreta.

Passo 3

Analisando a afirmação (II):
A série dada é 4n(n+1) = 4 ( 1n - 1n+1 ) .
Conceito: Essa é uma série telescópica, onde os termos podem ser reescritos para simplificar a soma.
Passos para verificar a convergência e calcular o limite:
  1. Simplificação dos termos:
    sumn=1^infty 4 ( 1n - 1n+1 )
  2. Expressão da série simplificada:
    4 ( (1 - 12) + (12 - 13) + (13 - 14) + cdots )
  3. Soma dos termos telescópicos:
    Ao somar os termos, muitos deles se cancelam:
    4 times 1 = 4
    O que sobra é apenas o primeiro termo:
Portanto, a série converge para 4.

Resposta

A alternativa correta é a © Apenas (II) está correta.

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