Considere as afirmações abaixo:
(I) A série
é convergente.
(II) A série
converge para 4 .
O que pode ser dito a respeito de tais afirmações?
(a) Apenas (I) está correta.
(b) Ambas estão corretas.
© Apenas (II) está correta.
(d) Ambas estão incorretas.
(I) A série
(II) A série
O que pode ser dito a respeito de tais afirmações?
(a) Apenas (I) está correta.
(b) Ambas estão corretas.
© Apenas (II) está correta.
(d) Ambas estão incorretas.
Passo 1
Vamos analisar as duas afirmações sobre séries matemáticas. O objetivo é verificar se cada uma delas está correta ou não. Para isso, vamos utilizar conceitos de convergência de séries e séries telescópicas. Precisaremos verificar se cada série converge e, no caso da segunda série, determinar seu valor.
Passo 2
Analisando a afirmação (I):
A série dada é
, conhecida como série harmônica.
Conceito: A série harmônica é uma série infinita onde cada termo é o inverso do número natural correspondente.
Verificação de convergência: Sabemos que a série harmônica não converge; ela diverge para o infinito. Isso pode ser demonstrado pelo teste da comparação com a integral
, que também diverge.
Portanto, a afirmação (I) está incorreta.
Passo 3
Analisando a afirmação (II):
A série dada é
.
Conceito: Essa é uma série telescópica, onde os termos podem ser reescritos para simplificar a soma.
Passos para verificar a convergência e calcular o limite:
-
Simplificação dos termos:
-
Expressão da série simplificada:
-
Soma dos termos telescópicos:
Ao somar os termos, muitos deles se cancelam:O que sobra é apenas o primeiro termo:
Portanto, a série converge para 4.
Resposta
A alternativa correta é a © Apenas (II) está correta.
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. Diga se a sequência é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule o limite.
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