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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a derivada de
em relação a
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas de funções que são produtos de duas funções. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Produto e saber como derivar funções logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra do Produto. Ela diz que se você tem uma função que é o produto de duas funções, ou seja,
, então a derivada de
em relação a
é:
Aqui,
é a derivada de
e
é a derivada de
.
Passo 3
No nosso caso, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas:
Agora, vamos encontrar as derivadas dessas funções individualmente.
Passo 4
Vamos derivar
. A derivada de
em relação a
é
. Então:
Passo 5
Agora, vamos derivar
. A derivada de
é
. Aqui,
, então
. Portanto:
Passo 6
Agora que temos
e
, vamos aplicar a Regra do Produto:
Passo 7
Podemos simplificar um pouco a expressão final:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: