Para cada item:
  • Decida se gamma é lisa por partes.
  • Decida se gamma é uma curva simples.
  • Decida se gamma é uma curva fechada.
  • Calcule a integral de linha integralgamma F.
    integralgamma x^2 d x+y^2 d y, onde gamma é a curva x^2a^2+y^2b^2=1 percorrendo no sentido anti-horário.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva gamma definida pela equação x^2a^2 + y^2b^2 = 1, que é uma elipse. Precisamos verificar se essa curva é lisa por partes, simples, fechada e calcular uma integral de linha sobre ela. Para resolver, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos decidir se gamma é lisa por partes. Uma curva lisa por partes é aquela que pode ser dividida em trechos lisos, ou seja, diferenciáveis. A equação da elipse é suave e não tem pontos angulares. Então, gamma é lisa por partes.

Passo 3

Agora, vamos verificar se gamma é uma curva simples. Uma curva simples não se cruza, ou seja, cada ponto da curva é único. Como a elipse não se cruza e cada ponto é percorrido uma única vez, gamma é uma curva simples.

Passo 4

Em seguida, vamos decidir se gamma é uma curva fechada. Uma curva fechada é aquela que começa e termina no mesmo ponto, formando um laço. A elipse fecha-se sobre si mesma, então gamma é uma curva fechada.

Passo 5

Por último, vamos calcular a integral de linha integralgamma F = integralgamma x^2 dx + y^2 dy. Para isso, usamos o teorema de Green, que relaciona a integral de linha a uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva.
A função dada é P = x^2 e Q = y^2. O teorema de Green diz que:
ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Calculando as derivadas parciais:
partial Qpartial x = 0 e partial Ppartial y = 0
Portanto,
integral duplaD (0 - 0) , dA = 0

Resposta

A integral de linha é igual a 0.

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