Para cada item:
  • Decida se é lisa por partes.
  • Decida se é uma curva simples.
  • Decida se é uma curva fechada.
  • Calcule a integral de linha .
    , onde é a curva percorrendo no sentido anti-horário.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida pela equação , que é uma elipse. Precisamos verificar se essa curva é lisa por partes, simples, fechada e calcular uma integral de linha sobre ela. Para resolver, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos decidir se é lisa por partes. Uma curva lisa por partes é aquela que pode ser dividida em trechos lisos, ou seja, diferenciáveis. A equação da elipse é suave e não tem pontos angulares. Então, é lisa por partes.

Passo 3

Agora, vamos verificar se é uma curva simples. Uma curva simples não se cruza, ou seja, cada ponto da curva é único. Como a elipse não se cruza e cada ponto é percorrido uma única vez, é uma curva simples.

Passo 4

Em seguida, vamos decidir se é uma curva fechada. Uma curva fechada é aquela que começa e termina no mesmo ponto, formando um laço. A elipse fecha-se sobre si mesma, então é uma curva fechada.

Passo 5

Por último, vamos calcular a integral de linha . Para isso, usamos o teorema de Green, que relaciona a integral de linha a uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva.
A função dada é e . O teorema de Green diz que:
Calculando as derivadas parciais:
Portanto,

Resposta

A integral de linha é igual a .

Exercícios relacionados

Para cada item:
  • Decida se é lisa por partes.
  • Decida se é uma curva simples.
  • Decida se é uma curva fechada.
  • Calcule a integral de linha .
    , onde é a reunião dos segmentos de reta que unem a e .
Para cada item:
  • Decida se é lisa por partes.
  • Decida se é uma curva simples.
  • Decida se é uma curva fechada.
  • Calcule a integral de linha .
    , onde .
Para cada item:
  • Decida se é lisa por partes.
  • Decida se é uma curva simples.
  • Decida se é uma curva fechada.
  • Calcule a integral de linha .
    , onde .
Para cada item:
  • Decida se é lisa por partes.
  • Decida se é uma curva simples.
  • Decida se é uma curva fechada.
  • Calcule a integral de linha .
    , onde é o quadrado com vértices e orientado no sentido anti-horário.