Para cada item:
- Decida se
é lisa por partes.
- Decida se
é uma curva simples.
- Decida se
é uma curva fechada.
- Calcule a integral de linha
.
, onde
é a curva
percorrendo no sentido anti-horário.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva
definida pela equação
, que é uma elipse. Precisamos verificar se essa curva é lisa por partes, simples, fechada e calcular uma integral de linha sobre ela. Para resolver, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos decidir se
é lisa por partes. Uma curva lisa por partes é aquela que pode ser dividida em trechos lisos, ou seja, diferenciáveis. A equação da elipse é suave e não tem pontos angulares. Então,
é lisa por partes.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é uma curva simples. Uma curva simples não se cruza, ou seja, cada ponto da curva é único. Como a elipse não se cruza e cada ponto é percorrido uma única vez,
é uma curva simples.
Passo 4
Em seguida, vamos decidir se
é uma curva fechada. Uma curva fechada é aquela que começa e termina no mesmo ponto, formando um laço. A elipse fecha-se sobre si mesma, então
é uma curva fechada.
Passo 5
Por último, vamos calcular a integral de linha
. Para isso, usamos o teorema de Green, que relaciona a integral de linha a uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva.
A função dada é
e
. O teorema de Green diz que:
Calculando as derivadas parciais:
Portanto,
Resposta
A integral de linha é igual a
.
Exercícios relacionados
Para cada item:
- Decida se
é lisa por partes. - Decida se
é uma curva simples. - Decida se
é uma curva fechada. - Calcule a integral de linha
.
, onde é a reunião dos segmentos de reta que unem a e .
Para cada item:
- Decida se
é lisa por partes. - Decida se
é uma curva simples. - Decida se
é uma curva fechada. - Calcule a integral de linha
.
, onde .
Para cada item:
- Decida se
é lisa por partes. - Decida se
é uma curva simples. - Decida se
é uma curva fechada. - Calcule a integral de linha
.
, onde .
Para cada item:
- Decida se
é lisa por partes. - Decida se
é uma curva simples. - Decida se
é uma curva fechada. - Calcule a integral de linha
.
, onde é o quadrado com vértices e orientado no sentido anti-horário.