Para cada item:
- Decida se
é lisa por partes.
- Decida se
é uma curva simples.
- Decida se
é uma curva fechada.
- Calcule a integral de linha
.
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma curva
definida para
entre 0 e 1. Precisamos analisar várias propriedades dessa curva:
- Verificar se
é lisa por partes. - Verificar se
é uma curva simples. - Verificar se
é uma curva fechada. - Calcular a integral de linha
, onde .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como curvas lisas, curvas simples, curvas fechadas e integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a curva
é lisa por partes. Uma curva é lisa por partes se for diferenciável em pedaços, ou seja, podemos dividi-la em segmentos onde ela é suave (diferenciável).
A função
é composta por funções polinomiais, que são suaves em todo o domínio real. Como estamos considerando
, não há quebras ou pontos onde a derivada não exista. Portanto,
é lisa por partes.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é uma curva simples. Uma curva é simples se não se cruza, ou seja, cada ponto na curva corresponde a um único valor de
.
Para
, se assumirmos que
, isso implica que:
A única solução para isso, dentro do intervalo
, é
. Portanto, a curva não se cruza e é simples.
Passo 4
Em seguida, vamos determinar se
é uma curva fechada. Uma curva é fechada se o ponto inicial é igual ao ponto final.
Vamos calcular os pontos inicial e final:
- Ponto inicial:
- Ponto final:
Como
, a curva não é fechada.
Passo 5
Por último, vamos calcular a integral de linha
, onde
.
A integral de linha pode ser calculada usando a parametrização da curva. A fórmula geral é:
Primeiro, vamos encontrar
:
Agora, substituímos
em
:
Calculamos o produto escalar
:
Agora, integramos de 0 a 1:
Calculando as integrais:
Resposta
A integral de linha
.
Exercícios relacionados
Para cada item:
- Decida se
é lisa por partes. - Decida se
é uma curva simples. - Decida se
é uma curva fechada. - Calcule a integral de linha
.
, onde é a curva percorrendo no sentido anti-horário.
Para cada item:
- Decida se
é lisa por partes. - Decida se
é uma curva simples. - Decida se
é uma curva fechada. - Calcule a integral de linha
.
, onde é a reunião dos segmentos de reta que unem a e .
Para cada item:
- Decida se
é lisa por partes. - Decida se
é uma curva simples. - Decida se
é uma curva fechada. - Calcule a integral de linha
.
, onde é o quadrado com vértices e orientado no sentido anti-horário.
Para cada item:
- Decida se
é lisa por partes. - Decida se
é uma curva simples. - Decida se
é uma curva fechada. - Calcule a integral de linha
.
, onde é formada pelos segmentos que ligam a e .