Para cada item:
  • Decida se é lisa por partes.
  • Decida se é uma curva simples.
  • Decida se é uma curva fechada.
  • Calcule a integral de linha .
    , onde .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma curva definida para entre 0 e 1. Precisamos analisar várias propriedades dessa curva:
  1. Verificar se é lisa por partes.
  2. Verificar se é uma curva simples.
  3. Verificar se é uma curva fechada.
  4. Calcular a integral de linha , onde .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como curvas lisas, curvas simples, curvas fechadas e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a curva é lisa por partes. Uma curva é lisa por partes se for diferenciável em pedaços, ou seja, podemos dividi-la em segmentos onde ela é suave (diferenciável).
A função é composta por funções polinomiais, que são suaves em todo o domínio real. Como estamos considerando , não há quebras ou pontos onde a derivada não exista. Portanto, é lisa por partes.

Passo 3

Agora, vamos verificar se é uma curva simples. Uma curva é simples se não se cruza, ou seja, cada ponto na curva corresponde a um único valor de .
Para , se assumirmos que , isso implica que:
A única solução para isso, dentro do intervalo , é . Portanto, a curva não se cruza e é simples.

Passo 4

Em seguida, vamos determinar se é uma curva fechada. Uma curva é fechada se o ponto inicial é igual ao ponto final.
Vamos calcular os pontos inicial e final:
  • Ponto inicial:
  • Ponto final:
Como , a curva não é fechada.

Passo 5

Por último, vamos calcular a integral de linha , onde .
A integral de linha pode ser calculada usando a parametrização da curva. A fórmula geral é:
Primeiro, vamos encontrar :
Agora, substituímos em :
Calculamos o produto escalar :
Agora, integramos de 0 a 1:
Calculando as integrais:

Resposta

A integral de linha .

Exercícios relacionados

Para cada item:
  • Decida se é lisa por partes.
  • Decida se é uma curva simples.
  • Decida se é uma curva fechada.
  • Calcule a integral de linha .
    , onde é a curva percorrendo no sentido anti-horário.
Para cada item:
  • Decida se é lisa por partes.
  • Decida se é uma curva simples.
  • Decida se é uma curva fechada.
  • Calcule a integral de linha .
    , onde é a reunião dos segmentos de reta que unem a e .
Para cada item:
  • Decida se é lisa por partes.
  • Decida se é uma curva simples.
  • Decida se é uma curva fechada.
  • Calcule a integral de linha .
    , onde é o quadrado com vértices e orientado no sentido anti-horário.
Para cada item:
  • Decida se é lisa por partes.
  • Decida se é uma curva simples.
  • Decida se é uma curva fechada.
  • Calcule a integral de linha .
    , onde é formada pelos segmentos que ligam a e .