Para cada item:
  • Decida se gamma é lisa por partes.
  • Decida se gamma é uma curva simples.
  • Decida se gamma é uma curva fechada.
  • Calcule a integral de linha integralgamma F.
    F(x, y, z)=(x y, y,-1), onde gamma(t)=(t, t^2, t^3), t in[0,1].

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma curva definida para entre 0 e 1. Precisamos analisar várias propriedades dessa curva:
  1. Verificar se é lisa por partes.
  2. Verificar se é uma curva simples.
  3. Verificar se é uma curva fechada.
  4. Calcular a integral de linha , onde .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como curvas lisas, curvas simples, curvas fechadas e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a curva é lisa por partes. Uma curva é lisa por partes se for diferenciável em pedaços, ou seja, podemos dividi-la em segmentos onde ela é suave (diferenciável).
A função é composta por funções polinomiais, que são suaves em todo o domínio real. Como estamos considerando , não há quebras ou pontos onde a derivada não exista. Portanto, é lisa por partes.

Passo 3

Agora, vamos verificar se é uma curva simples. Uma curva é simples se não se cruza, ou seja, cada ponto na curva corresponde a um único valor de .
Para , se assumirmos que , isso implica que:
A única solução para isso, dentro do intervalo , é . Portanto, a curva não se cruza e é simples.

Passo 4

Em seguida, vamos determinar se é uma curva fechada. Uma curva é fechada se o ponto inicial é igual ao ponto final.
Vamos calcular os pontos inicial e final:
  • Ponto inicial:
  • Ponto final:
Como , a curva não é fechada.

Passo 5

Por último, vamos calcular a integral de linha integralgamma F cdot dr = integrala^b F(gamma(t)) cdot gamma'(t) , dt , onde gamma(t) = (t, t^2, t^3) gamma'(t) = ( ddt t, ddt t^2, ddt t^3 ) = (1, 2t, 3t^2) .
A integral de linha pode ser calculada usando a parametrização da curva. A fórmula geral é:
F(gamma(t)) = ( t cdot t^2, t^2, -1 ) = (t^3, t^2, -1)
Primeiro, vamos encontrar (t^3) cdot 1 + (t^2) cdot 2t + (-1) cdot 3t^2 = t^3 + 2t^3 - 3t^2 = 3t^3 - 3t^2 :
integral0^1 (3t^3 - 3t^2) , dt = 3 integral0^1 t^3 , dt - 3 integral0^1 t^2 , dt
Agora, substituímos 3 [ t^44 ]0^1 - 3 [ t^33 ]0^1 = 3 ( 14 - 0 ) - 3 ( 13 - 0 ) = 34 - 1 = -14 em :
Calculamos o produto escalar :
Agora, integramos de 0 a 1:
Calculando as integrais:

Resposta

A integral de linha .

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