Para cada item:
  • Decida se gamma é lisa por partes.
  • Decida se gamma é uma curva simples.
  • Decida se gamma é uma curva fechada.
  • Calcule a integral de linha integralgamma F.
    integralgamma x^2 y d x+x y^3 d y, onde gamma é o quadrado com vértices (0,0),(1,0),(1,1) e (0,1) orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma curva chamada gamma, que é um quadrado com vértices nos pontos (0,0), (1,0), (1,1) e (0,1), percorrida no sentido anti-horário. Precisamos:
  1. Verificar se gamma é lisa por partes.
  2. Verificar se gamma é uma curva simples.
  3. Verificar se gamma é uma curva fechada.
  4. Calcular a integral de linha integralgamma F, onde F = (x^2 y, x y^3).
Para resolver isso, vamos lembrar de alguns conceitos básicos:
  • Curva lisa por partes: uma curva que pode ser dividida em segmentos onde cada segmento é diferenciável.
  • Curva simples: uma curva que não se intersecta, ou seja, não cruza a si mesma.
  • Curva fechada: uma curva que termina no mesmo ponto onde começa.
  • Integral de linha: uma maneira de somar valores de um campo vetorial ao longo de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se gamma é lisa por partes. Olhe para o quadrado: ele é composto por quatro lados retos. Cada lado é uma função linear, que é suave e diferenciável. Como a curva pode ser dividida em segmentos diferenciáveis, gamma é lisa por partes.

Passo 3

Agora, vamos ver se gamma é uma curva simples. Uma curva simples não se cruza. Olhando o quadrado, vemos que os lados se encontram apenas nos vértices, mas não se cruzam em nenhum outro ponto. Portanto, gamma é uma curva simples.

Passo 4

Em seguida, vamos determinar se gamma é uma curva fechada. Uma curva é fechada se o ponto final é igual ao ponto inicial. Nosso quadrado começa em (0,0) e termina em (0,1), mas percebemos que para completá-la no sentido anti-horário, voltamos para (0,0). Assim, gamma é uma curva fechada.

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de linha integralgamma F onde F = (x^2 y, x y^3). A integral de linha para um campo vetorial F = (P, Q) ao longo de uma curva fechada gamma é dada por:
integralgamma F cdot dr = ointgamma P , dx + Q , dy
No nosso caso, P = x^2 y e Q = x y^3, então:
ointgamma x^2 y , dx + x y^3 , dy

Passo 6

Para resolver essa integral, podemos usar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada pela curva. O teorema de Green diz que:
ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x (x y^3) = y^3
partial Ppartial y = partialpartial y (x^2 y) = x^2
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = y^3 - x^2

Passo 7

Agora, precisamos definir os limites da região D, que é o quadrado com vértices em (0,0), (1,0), (1,1) e (0,1). Isso significa que x varia de 0 a 1, e para cada x, y varia de 0 a 1. Portanto, a integral dupla fica:
integral duplaD (y^3 - x^2) , dA = integral0^1 integral0^1 (y^3 - x^2) , dy , dx

Passo 8

Vamos calcular a integral interna primeiro, com respeito a y:
integral0^1 (y^3 - x^2) , dy = [ y^44 - x^2 y ]0^1 = ( 14 - x^2 cdot 1 ) - (0 - 0) = 14 - x^2
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
integral0^1 ( 14 - x^2 ) , dx = integral0^1 14 , dx - integral0^1 x^2 , dx

Passo 9

Calculando cada parte:
integral0^1 14 , dx = 14 cdot (1 - 0) = 14
integral0^1 x^2 , dx = [ x^33 ]0^1 = 13 - 0 = 13
Subtraindo os dois resultados:
14 - 13 = 312 - 412 = -112

Resposta

A integral de linha integralgamma F é igual a -dfrac112.

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