Para cada item:
- Decida se
é lisa por partes.
- Decida se
é uma curva simples.
- Decida se
é uma curva fechada.
- Calcule a integral de linha
.
, onde
é o quadrado com vértices
e
orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma curva chamada
, que é um quadrado com vértices nos pontos
,
,
e
, percorrida no sentido anti-horário. Precisamos:
- Verificar se
é lisa por partes. - Verificar se
é uma curva simples. - Verificar se
é uma curva fechada. - Calcular a integral de linha
, onde .
Para resolver isso, vamos lembrar de alguns conceitos básicos:
- Curva lisa por partes: uma curva que pode ser dividida em segmentos onde cada segmento é diferenciável.
- Curva simples: uma curva que não se intersecta, ou seja, não cruza a si mesma.
- Curva fechada: uma curva que termina no mesmo ponto onde começa.
- Integral de linha: uma maneira de somar valores de um campo vetorial ao longo de uma curva.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é lisa por partes. Olhe para o quadrado: ele é composto por quatro lados retos. Cada lado é uma função linear, que é suave e diferenciável. Como a curva pode ser dividida em segmentos diferenciáveis,
é lisa por partes.
Passo 3
Agora, vamos ver se
é uma curva simples. Uma curva simples não se cruza. Olhando o quadrado, vemos que os lados se encontram apenas nos vértices, mas não se cruzam em nenhum outro ponto. Portanto,
é uma curva simples.
Passo 4
Em seguida, vamos determinar se
é uma curva fechada. Uma curva é fechada se o ponto final é igual ao ponto inicial. Nosso quadrado começa em
e termina em
, mas percebemos que para completá-la no sentido anti-horário, voltamos para
. Assim,
é uma curva fechada.
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de linha
onde
. A integral de linha para um campo vetorial
ao longo de uma curva fechada
é dada por:
No nosso caso,
e
, então:
Passo 6
Para resolver essa integral, podemos usar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada pela curva. O teorema de Green diz que:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
Passo 7
Agora, precisamos definir os limites da região
, que é o quadrado com vértices em
,
,
e
. Isso significa que
varia de
a
, e para cada
,
varia de
a
. Portanto, a integral dupla fica:
Passo 8
Vamos calcular a integral interna primeiro, com respeito a
:
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Passo 9
Calculando cada parte:
Subtraindo os dois resultados:
Resposta
A integral de linha
é igual a
.
Exercícios relacionados
Para cada item:
- Decida se
é lisa por partes. - Decida se
é uma curva simples. - Decida se
é uma curva fechada. - Calcule a integral de linha
.
, onde .
Para cada item:
- Decida se
é lisa por partes. - Decida se
é uma curva simples. - Decida se
é uma curva fechada. - Calcule a integral de linha
.
, onde é a curva percorrendo no sentido anti-horário.
Para cada item:
- Decida se
é lisa por partes. - Decida se
é uma curva simples. - Decida se
é uma curva fechada. - Calcule a integral de linha
.
, onde é formada pelos segmentos que ligam a e .
Para cada item:
- Decida se
é lisa por partes. - Decida se
é uma curva simples. - Decida se
é uma curva fechada. - Calcule a integral de linha
.
, onde consiste do arco da parábola de a do segmento de reta de a .