Para cada item:
  • Decida se é lisa por partes.
  • Decida se é uma curva simples.
  • Decida se é uma curva fechada.
  • Calcule a integral de linha .
    , onde é o quadrado com vértices e orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma curva chamada , que é um quadrado com vértices nos pontos , , e , percorrida no sentido anti-horário. Precisamos:
  1. Verificar se é lisa por partes.
  2. Verificar se é uma curva simples.
  3. Verificar se é uma curva fechada.
  4. Calcular a integral de linha , onde .
Para resolver isso, vamos lembrar de alguns conceitos básicos:
  • Curva lisa por partes: uma curva que pode ser dividida em segmentos onde cada segmento é diferenciável.
  • Curva simples: uma curva que não se intersecta, ou seja, não cruza a si mesma.
  • Curva fechada: uma curva que termina no mesmo ponto onde começa.
  • Integral de linha: uma maneira de somar valores de um campo vetorial ao longo de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é lisa por partes. Olhe para o quadrado: ele é composto por quatro lados retos. Cada lado é uma função linear, que é suave e diferenciável. Como a curva pode ser dividida em segmentos diferenciáveis, é lisa por partes.

Passo 3

Agora, vamos ver se é uma curva simples. Uma curva simples não se cruza. Olhando o quadrado, vemos que os lados se encontram apenas nos vértices, mas não se cruzam em nenhum outro ponto. Portanto, é uma curva simples.

Passo 4

Em seguida, vamos determinar se é uma curva fechada. Uma curva é fechada se o ponto final é igual ao ponto inicial. Nosso quadrado começa em e termina em , mas percebemos que para completá-la no sentido anti-horário, voltamos para . Assim, é uma curva fechada.

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de linha onde . A integral de linha para um campo vetorial ao longo de uma curva fechada é dada por:
No nosso caso, e , então:

Passo 6

Para resolver essa integral, podemos usar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada pela curva. O teorema de Green diz que:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:

Passo 7

Agora, precisamos definir os limites da região , que é o quadrado com vértices em , , e . Isso significa que varia de a , e para cada , varia de a . Portanto, a integral dupla fica:

Passo 8

Vamos calcular a integral interna primeiro, com respeito a :
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:

Passo 9

Calculando cada parte:
Subtraindo os dois resultados:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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Para cada item:
  • Decida se é lisa por partes.
  • Decida se é uma curva simples.
  • Decida se é uma curva fechada.
  • Calcule a integral de linha .
    , onde .
Para cada item:
  • Decida se é lisa por partes.
  • Decida se é uma curva simples.
  • Decida se é uma curva fechada.
  • Calcule a integral de linha .
    , onde é a curva percorrendo no sentido anti-horário.
Para cada item:
  • Decida se é lisa por partes.
  • Decida se é uma curva simples.
  • Decida se é uma curva fechada.
  • Calcule a integral de linha .
    , onde é formada pelos segmentos que ligam a e .
Para cada item:
  • Decida se é lisa por partes.
  • Decida se é uma curva simples.
  • Decida se é uma curva fechada.
  • Calcule a integral de linha .
    , onde consiste do arco da parábola de a do segmento de reta de a .