Para cada item:
  • Decida se gamma é lisa por partes.
  • Decida se gamma é uma curva simples.
  • Decida se gamma é uma curva fechada.
  • Calcule a integral de linha integralgamma F.
    F(x, y)=(y, x^2+y^2), onde gamma é formada pelos segmentos que ligam (-2,0) a (0,0) e (0,0) a(0,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisamos analisar uma curva gamma formada por dois segmentos: um que liga o ponto (-2, 0) até (0, 0) e outro que vai de (0, 0) até (0, 2). Além disso, temos um campo vetorial F(x, y) = (y, x^2 + y^2) e queremos:
  1. Decidir se gamma é lisa por partes.
  2. Ver se gamma é uma curva simples.
  3. Verificar se gamma é uma curva fechada.
  4. Calcular a integral de linha integralgamma F.
Vamos precisar de conceitos de cálculo vetorial, como curvas lisas, curvas simples, curvas fechadas e integrais de linha. Vou quebrar tudo isso passo a passo para ficar tranquilo entender cada parte.

Passo 2

1. Decidir se gamma é lisa por partes.
Primeiro, vamos lembrar o que é uma curva lisa por partes. Uma curva é lisa por partes se ela pode ser dividida em segmentos nos quais cada segmento é suave, ou seja, tem derivadas contínuas.
No nosso caso, gamma é formada por dois segmentos de reta:
  • De (-2, 0) a (0, 0).
  • De (0, 0) a (0, 2).
Segmentos de reta são funções lineares e, portanto, são suaves (têm derivadas contínuas). Além disso, a junção dos segmentos no ponto (0, 0) não causa nenhum problema na suavidade, já que as direções dos segmentos são constantes.
Conclusão: Sim, gamma é lisa por partes.

Passo 3

2. Decidir se gamma é uma curva simples.
Uma curva é simples se não se intercepta, ou seja, não cruza a si mesma em nenhum ponto, exceto possivelmente nos pontos finais se for fechada.
Vamos ver a nossa gamma:
  • O primeiro segmento vai de (-2, 0) a (0, 0).
  • O segundo segmento vai de (0, 0) a (0, 2).
O único ponto em comum entre os dois segmentos é o ponto de encontro (0, 0). Fora isso, os segmentos não se cruzam.
Conclusão: Sim, gamma é uma curva simples.

Passo 4

3. Decidir se gamma é uma curva fechada.
Uma curva é fechada se o ponto final coincide com o ponto inicial, formando um “laço”.
No nosso caso:
  • Início: (-2, 0).
  • Fim: (0, 2).
Como (-2, 0) neq (0, 2), a curva não retorna ao ponto de partida.
Conclusão: Não, gamma não é uma curva fechada.

Passo 5

4. Calcular a integral de linha integralgamma F.
Vamos calcular a integral de linha do campo vetorial F(x, y) = (y, x^2 + y^2) ao longo da curva gamma.
Primeiro, a curva gamma é composta por dois segmentos:
  • Segmento 1: De (-2, 0) a (0, 0).
  • Segmento 2: De (0, 0) a (0, 2).
Vamos calcular a integral em cada segmento e depois somar.
Segmento 1: De (-2, 0) a (0, 0)
Parametrização do segmento 1:
r1(t) = (-2 + 2t, 0), onde t in [0, 1].
Derivada:
r1'(t) = (2, 0).
Substituindo na integral:
integralgamma1 F cdot dr = integral0^1 (0, (-2 + 2t)^2 + 0^2) cdot (2, 0) dt = integral0^1 0 cdot 2 + (( -2 + 2t)^2) cdot 0 dt = 0.
Segmento 2: De (0, 0) a (0, 2)
Parametrização do segmento 2:
r2(t) = (0, 2t), onde t in [0, 1].
Derivada:
r2'(t) = (0, 2).
Substituindo na integral:
integralgamma2 F cdot dr = integral0^1 (2t, 0^2 + (2t)^2) cdot (0, 2) dt = integral0^1 2t cdot 0 + (4t^2) cdot 2 dt = integral0^1 8t^2 dt = 8 cdot t^33 |0^1 = 83.
Integral total:
0 + 83 = 83.

Resposta

  1. Sim, gamma é lisa por partes.
  2. Sim, gamma é uma curva simples.
  3. Não, gamma não é uma curva fechada.
  4. A integral de linha é dfrac83.

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