Para cada item:
  • Decida se é lisa por partes.
  • Decida se é uma curva simples.
  • Decida se é uma curva fechada.
  • Calcule a integral de linha .
    , onde é formada pelos segmentos que ligam a e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisamos analisar uma curva formada por dois segmentos: um que liga o ponto até e outro que vai de até . Além disso, temos um campo vetorial e queremos:
  1. Decidir se é lisa por partes.
  2. Ver se é uma curva simples.
  3. Verificar se é uma curva fechada.
  4. Calcular a integral de linha .
Vamos precisar de conceitos de cálculo vetorial, como curvas lisas, curvas simples, curvas fechadas e integrais de linha. Vou quebrar tudo isso passo a passo para ficar tranquilo entender cada parte.

Passo 2

1. Decidir se é lisa por partes.
Primeiro, vamos lembrar o que é uma curva lisa por partes. Uma curva é lisa por partes se ela pode ser dividida em segmentos nos quais cada segmento é suave, ou seja, tem derivadas contínuas.
No nosso caso, é formada por dois segmentos de reta:
  • De a .
  • De a .
Segmentos de reta são funções lineares e, portanto, são suaves (têm derivadas contínuas). Além disso, a junção dos segmentos no ponto não causa nenhum problema na suavidade, já que as direções dos segmentos são constantes.
Conclusão: Sim, é lisa por partes.

Passo 3

2. Decidir se é uma curva simples.
Uma curva é simples se não se intercepta, ou seja, não cruza a si mesma em nenhum ponto, exceto possivelmente nos pontos finais se for fechada.
Vamos ver a nossa :
  • O primeiro segmento vai de a .
  • O segundo segmento vai de a .
O único ponto em comum entre os dois segmentos é o ponto de encontro . Fora isso, os segmentos não se cruzam.
Conclusão: Sim, é uma curva simples.

Passo 4

3. Decidir se é uma curva fechada.
Uma curva é fechada se o ponto final coincide com o ponto inicial, formando um “laço”.
No nosso caso:
  • Início: .
  • Fim: .
Como , a curva não retorna ao ponto de partida.
Conclusão: Não, não é uma curva fechada.

Passo 5

4. Calcular a integral de linha .
Vamos calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo da curva .
Primeiro, a curva é composta por dois segmentos:
  • Segmento 1: De a .
  • Segmento 2: De a .
Vamos calcular a integral em cada segmento e depois somar.
Segmento 1: De a
Parametrização do segmento 1:
, onde .
Derivada:
.
Substituindo na integral:
.
Segmento 2: De a
Parametrização do segmento 2:
, onde .
Derivada:
.
Substituindo na integral:
.
Integral total:
.

Resposta

  1. Sim, é lisa por partes.
  2. Sim, é uma curva simples.
  3. Não, não é uma curva fechada.
  4. A integral de linha é .

Exercícios relacionados

Para cada item:
  • Decida se é lisa por partes.
  • Decida se é uma curva simples.
  • Decida se é uma curva fechada.
  • Calcule a integral de linha .
    , onde é o quadrado com vértices e orientado no sentido anti-horário.
Para cada item:
  • Decida se é lisa por partes.
  • Decida se é uma curva simples.
  • Decida se é uma curva fechada.
  • Calcule a integral de linha .
    , onde .
Para cada item:
  • Decida se é lisa por partes.
  • Decida se é uma curva simples.
  • Decida se é uma curva fechada.
  • Calcule a integral de linha .
    , onde consiste do arco da parábola de a do segmento de reta de a .
Para cada item:
  • Decida se é lisa por partes.
  • Decida se é uma curva simples.
  • Decida se é uma curva fechada.
  • Calcule a integral de linha .
    , onde é a cardióide orientada no sentido anti-horário.