Calcule a integral de linha . , onde é formada pelos segmentos que ligam a e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisamos analisar uma curva formada por dois segmentos: um que liga o ponto até e outro que vai de até . Além disso, temos um campo vetorial e queremos:
Decidir se é lisa por partes.
Ver se é uma curva simples.
Verificar se é uma curva fechada.
Calcular a integral de linha .
Vamos precisar de conceitos de cálculo vetorial, como curvas lisas, curvas simples, curvas fechadas e integrais de linha. Vou quebrar tudo isso passo a passo para ficar tranquilo entender cada parte.
Passo 2
1. Decidir se é lisa por partes.
Primeiro, vamos lembrar o que é uma curva lisa por partes. Uma curva é lisa por partes se ela pode ser dividida em segmentos nos quais cada segmento é suave, ou seja, tem derivadas contínuas.
No nosso caso, é formada por dois segmentos de reta:
De a .
De a .
Segmentos de reta são funções lineares e, portanto, são suaves (têm derivadas contínuas). Além disso, a junção dos segmentos no ponto não causa nenhum problema na suavidade, já que as direções dos segmentos são constantes.
Conclusão: Sim, é lisa por partes.
Passo 3
2. Decidir se é uma curva simples.
Uma curva é simples se não se intercepta, ou seja, não cruza a si mesma em nenhum ponto, exceto possivelmente nos pontos finais se for fechada.
Vamos ver a nossa :
O primeiro segmento vai de a .
O segundo segmento vai de a .
O único ponto em comum entre os dois segmentos é o ponto de encontro . Fora isso, os segmentos não se cruzam.
Conclusão: Sim, é uma curva simples.
Passo 4
3. Decidir se é uma curva fechada.
Uma curva é fechada se o ponto final coincide com o ponto inicial, formando um “laço”.
No nosso caso:
Início: .
Fim: .
Como , a curva não retorna ao ponto de partida.
Conclusão: Não, não é uma curva fechada.
Passo 5
4. Calcular a integral de linha .
Vamos calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo da curva .
Primeiro, a curva é composta por dois segmentos:
Segmento 1: De a .
Segmento 2: De a .
Vamos calcular a integral em cada segmento e depois somar.