Para cada item:
  • Decida se gamma é lisa por partes.
  • Decida se gamma é uma curva simples.
  • Decida se gamma é uma curva fechada.
  • Calcule a integral de linha integralgamma F.
    integralgamma(x+2 y) d x+(x-2 y) d y, onde gamma consiste do arco da parábola y=x^2 de (0,0) a (1,1) e do segmento de reta de (1,1) a (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma curva que é composta por duas partes: primeiro, o arco da parábola que vai do ponto até , e depois um segmento de reta que volta de para . Precisamos:
  1. Verificar se é lisa por partes.
  2. Decidir se é uma curva simples.
  3. Confirmar se é uma curva fechada.
  4. Calcular a integral de linha , onde .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como propriedades de curvas, parametrizações e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma curva ser lisa por partes. Uma curva é lisa por partes se ela puder ser dividida em segmentos onde cada segmento é diferenciável (ou seja, tem uma derivada contínua). No nosso caso, é composta por duas partes: um arco de parábola e um segmento de reta. Ambas as partes são diferenciáveis, então é lisa por partes.

Passo 3

Agora, vamos ver se é uma curva simples. Uma curva simples é aquela que não se cruza, ou seja, não tem pontos repetidos além dos pontos iniciais e finais. Olhando para , começamos em , vamos até pela parábola e voltamos pelo segmento de reta. O único ponto que se repete é , então é uma curva simples.

Passo 4

Vamos verificar se é uma curva fechada. Uma curva é fechada se seu ponto inicial e final são os mesmos. No nosso caso, começamos em e voltamos para após percorrer as duas partes da curva. Portanto, é uma curva fechada.

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de linha r1(x) = (x, x^2), 0 <= x <= 1 onde r1^,prime(x) = (1, 2x) . A integral de linha é basicamente somar o efeito da força r2(t) = (1 - t, 1 - t), 0 <= t <= 1 ao longo do caminho r2^,prime(t) = (-1, -1) .
Primeiro, parametrize cada parte da curva:
  1. Arco da parábola de a :
    Podemos usar como parâmetro, então:
    A derivada de em relação a é:
  2. Segmento de reta de a :
    Podemos parametrizar usando um parâmetro que vai de 0 a 1:
    A derivada de em relação a é:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral em cada parte da curva e depois somar os resultados.
  1. Integral no arco da parábola:
    Substituindo F(r1(x)) = (x + 2x^2, x - 2x^2) e integral0^1 (x + 2x^2) cdot 1 + (x - 2x^2) cdot 2x , dx na integral:
    integral0^1 (x + 2x^2 + 2x^2 - 4x^3) dx = integral0^1 (x + 4x^2 - 4x^3) dx
    Então, a integral fica:
    [12x^2 + 43x^3 - x^4]0^1 = 12 + 43 - 1 = 12 + 43 - 33 = 12 + 13 = 56
    Simplificando:
    F(r2(t)) = ((1 - t) + 2(1 - t), (1 - t) - 2(1 - t)) = (3 - 3t, -1 + t)
    Integrando termo a termo:
    integral0^1 (3 - 3t)(-1) + (-1 + t)(-1) , dt = integral0^1 (-3 + 3t) + (1 - t) , dt = integral0^1 (-2 + 2t) , dt
  2. Integral no segmento de reta:
    Substituindo [-2t + t^2]0^1 = -2 + 1 = -1 e na integral:
    Então, a integral fica:
    Integrando:

Passo 7

Finalmente, somamos as integrais das duas partes:
56 + (-1) = 56 - 66 = -16

Resposta

A integral de linha vale .

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