Para cada item:
  • Decida se é lisa por partes.
  • Decida se é uma curva simples.
  • Decida se é uma curva fechada.
  • Calcule a integral de linha .
    , onde consiste do arco da parábola de a do segmento de reta de a .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma curva que é composta por duas partes: primeiro, o arco da parábola que vai do ponto até , e depois um segmento de reta que volta de para . Precisamos:
  1. Verificar se é lisa por partes.
  2. Decidir se é uma curva simples.
  3. Confirmar se é uma curva fechada.
  4. Calcular a integral de linha , onde .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como propriedades de curvas, parametrizações e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma curva ser lisa por partes. Uma curva é lisa por partes se ela puder ser dividida em segmentos onde cada segmento é diferenciável (ou seja, tem uma derivada contínua). No nosso caso, é composta por duas partes: um arco de parábola e um segmento de reta. Ambas as partes são diferenciáveis, então é lisa por partes.

Passo 3

Agora, vamos ver se é uma curva simples. Uma curva simples é aquela que não se cruza, ou seja, não tem pontos repetidos além dos pontos iniciais e finais. Olhando para , começamos em , vamos até pela parábola e voltamos pelo segmento de reta. O único ponto que se repete é , então é uma curva simples.

Passo 4

Vamos verificar se é uma curva fechada. Uma curva é fechada se seu ponto inicial e final são os mesmos. No nosso caso, começamos em e voltamos para após percorrer as duas partes da curva. Portanto, é uma curva fechada.

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de linha onde . A integral de linha é basicamente somar o efeito da força ao longo do caminho .
Primeiro, parametrize cada parte da curva:
  1. Arco da parábola de a :
    Podemos usar como parâmetro, então:
    A derivada de em relação a é:
  2. Segmento de reta de a :
    Podemos parametrizar usando um parâmetro que vai de 0 a 1:
    A derivada de em relação a é:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral em cada parte da curva e depois somar os resultados.
  1. Integral no arco da parábola:
    Substituindo e na integral:
    Então, a integral fica:
    Simplificando:
    Integrando termo a termo:
  2. Integral no segmento de reta:
    Substituindo e na integral:
    Então, a integral fica:
    Integrando:

Passo 7

Finalmente, somamos as integrais das duas partes:

Resposta

A integral de linha vale .

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Para cada item:
  • Decida se é lisa por partes.
  • Decida se é uma curva simples.
  • Decida se é uma curva fechada.
  • Calcule a integral de linha .
    , onde é formada pelos segmentos que ligam a e .
Para cada item:
  • Decida se é lisa por partes.
  • Decida se é uma curva simples.
  • Decida se é uma curva fechada.
  • Calcule a integral de linha .
    , onde é o quadrado com vértices e orientado no sentido anti-horário.
Para cada item:
  • Decida se é lisa por partes.
  • Decida se é uma curva simples.
  • Decida se é uma curva fechada.
  • Calcule a integral de linha .
    , onde é a cardióide orientada no sentido anti-horário.
Crescimento populacional: Estima-se que, daqui a t meses, a população de uma certa cidade variará segundo a taxa de pessoas por mês. A população atual é de 5.000 pessoas. Qual a população daqui a 9 meses?