Para cada item:
- Decida se
é lisa por partes.
- Decida se
é uma curva simples.
- Decida se
é uma curva fechada.
- Calcule a integral de linha
.
, onde
consiste do arco da parábola
de
a
do segmento de reta de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma curva
que é composta por duas partes: primeiro, o arco da parábola
que vai do ponto
até
, e depois um segmento de reta que volta de
para
. Precisamos:
- Verificar se
é lisa por partes. - Decidir se
é uma curva simples. - Confirmar se
é uma curva fechada. - Calcular a integral de linha
, onde .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como propriedades de curvas, parametrizações e integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma curva ser lisa por partes. Uma curva é lisa por partes se ela puder ser dividida em segmentos onde cada segmento é diferenciável (ou seja, tem uma derivada contínua). No nosso caso,
é composta por duas partes: um arco de parábola e um segmento de reta. Ambas as partes são diferenciáveis, então
é lisa por partes.
Passo 3
Agora, vamos ver se
é uma curva simples. Uma curva simples é aquela que não se cruza, ou seja, não tem pontos repetidos além dos pontos iniciais e finais. Olhando para
, começamos em
, vamos até
pela parábola e voltamos pelo segmento de reta. O único ponto que se repete é
, então
é uma curva simples.
Passo 4
Vamos verificar se
é uma curva fechada. Uma curva é fechada se seu ponto inicial e final são os mesmos. No nosso caso, começamos em
e voltamos para
após percorrer as duas partes da curva. Portanto,
é uma curva fechada.
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de linha
onde
. A integral de linha é basicamente somar o efeito da força
ao longo do caminho
.
Primeiro, parametrize cada parte da curva:
-
Arco da parábola
de a : Podemos usarcomo parâmetro, então: A derivada deem relação a é: -
Segmento de reta de
a : Podemos parametrizar usando um parâmetroque vai de 0 a 1: A derivada deem relação a é:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral em cada parte da curva e depois somar os resultados.
-
Integral no arco da parábola:Substituindo
e na integral: Então, a integral fica:Simplificando:Integrando termo a termo: -
Integral no segmento de reta:Substituindo
e na integral: Então, a integral fica:Integrando:
Passo 7
Finalmente, somamos as integrais das duas partes:
Resposta
A integral de linha
vale
.
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Para cada item:
- Decida se
é lisa por partes. - Decida se
é uma curva simples. - Decida se
é uma curva fechada. - Calcule a integral de linha
.
, onde é formada pelos segmentos que ligam a e .
Para cada item:
- Decida se
é lisa por partes. - Decida se
é uma curva simples. - Decida se
é uma curva fechada. - Calcule a integral de linha
.
, onde é o quadrado com vértices e orientado no sentido anti-horário.
Para cada item:
- Decida se
é lisa por partes. - Decida se
é uma curva simples. - Decida se
é uma curva fechada. - Calcule a integral de linha
.
, onde é a cardióide orientada no sentido anti-horário.
Crescimento populacional: Estima-se que, daqui a t meses, a população de uma certa cidade variará segundo a taxa de
pessoas por mês. A população atual é de 5.000 pessoas. Qual a população daqui a 9 meses?