Determine as dimensões da caixa retangular de maior volume se a área total de sua superfície é dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as dimensões de uma caixa retangular que tenha o maior volume possível, sabendo que a área total da superfície da caixa é de
. Vamos usar conceitos de otimização em geometria para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a área total da superfície de uma caixa retangular é dada pela fórmula:
onde
é o comprimento,
a largura e
a altura da caixa. Sabemos que:
Simplificando:
Passo 3
Nosso objetivo é maximizar o volume da caixa, que é dado por:
Para encontrar as dimensões que maximizam o volume, podemos usar o princípio de que, para dimensões positivas, o volume é maximizado quando
. Isso significa que a melhor caixa com maior volume, dado a área de superfície, é um cubo.
Passo 4
Como estamos assumindo que
, onde
é o lado do cubo, podemos substituir na fórmula da área:
Então:
Passo 5
Portanto, as dimensões da caixa retangular de maior volume, que na verdade é um cubo, são todas iguais a
.
Resposta
As dimensões da caixa retangular de maior volume são
para o comprimento, largura e altura.
Exercícios relacionados
Determine a solução do PVI abaixo. Note que a equação não é linear em
. Tente considerar
como função de
.
Em cada item, desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada. Baseado no campo de direções, determine o comportamento de
quando
. Se esse comportamento depender do valor inicial de
quanto
, descreva essa dependência.
b.
b.
Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
Calcule a integral.