Determine as dimensões da caixa retangular de maior volume se a área total de sua superfície é dada por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as dimensões de uma caixa retangular que tenha o maior volume possível, sabendo que a área total da superfície da caixa é de . Vamos usar conceitos de otimização em geometria para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a área total da superfície de uma caixa retangular é dada pela fórmula:
onde é o comprimento, a largura e a altura da caixa. Sabemos que:
Simplificando:

Passo 3

Nosso objetivo é maximizar o volume da caixa, que é dado por:
Para encontrar as dimensões que maximizam o volume, podemos usar o princípio de que, para dimensões positivas, o volume é maximizado quando . Isso significa que a melhor caixa com maior volume, dado a área de superfície, é um cubo.

Passo 4

Como estamos assumindo que , onde é o lado do cubo, podemos substituir na fórmula da área:
Então:

Passo 5

Portanto, as dimensões da caixa retangular de maior volume, que na verdade é um cubo, são todas iguais a .

Resposta

As dimensões da caixa retangular de maior volume são para o comprimento, largura e altura.

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Em cada item, desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada. Baseado no campo de direções, determine o comportamento de quando . Se esse comportamento depender do valor inicial de quanto , descreva essa dependência.
b.
Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
Calcule a integral.