Classifique e resolva (quando possível) cada um dos sistemas abaixo:
cx-3 y+z=-4 x+2 y-3 z=12 2 x-y-2 z=8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O enunciado nos dá três equações com três incógnitas: , e . Nosso objetivo é classificar o sistema (ver se tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma) e, se possível, encontrar os valores de , e . Para isso, vamos usar métodos de resolução de sistemas lineares, como o método da substituição ou o método de eliminação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
x - 3y + z = -4 (Equação 1) x + 2y - 3z = 12 (Equação 2) 2x - y - 2z = 8 (Equação 3) çãçãçã

Passo 3

Vamos usar o método de eliminação para simplificar o sistema. Primeiramente, vamos eliminar o (x + 2y - 3z) - (x - 3y + z) = 12 - (-4) das Equações 1 e 2.
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
5y - 4z = 16 (Equação 4)
Simplificando:
çã

Passo 4

Agora, vamos eliminar o 2x - 6y + 2z = -8 (Equação 5) das Equações 1 e 3.
Multiplicando a Equação 1 por 2:
(2x - 6y + 2z) - (2x - y - 2z) = -8 - 8 çã
Subtraindo a Equação 3 da Equa��ão 5:
-5y + 4z = -16 (Equação 6)
Simplificando:
çã

Passo 5

Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas (Equações 4 e 6):
5y - 4z = 16 (Equação 4) -5y + 4z = -16 (Equação 6) çãçã
Somando a Equação 4 com a Equação 6:
(5y - 4z) + (-5y + 4z) = 16 + (-16)
Simplificando:
0 = 0
Isso indica que as duas equações são dependentes, ou seja, elas representam a mesma reta no espaço.

Passo 6

Como as Equações 4 e 6 são equivalentes, isso significa que o sistema original possui infinitas soluções. Para expressar essas soluções, podemos escolher um valor para uma das variáveis e resolver as outras em termos dela.
Vamos escolher 5y - 4t = 16 , onde 5y = 16 + 4t y = 16 + 4t5 é um parâmetro qualquer.
Substituindo na Equação 4:
Resolvendo para :

Passo 7

Agora, vamos substituir x - 3(16 + 4t5) + t = -4 e x - 48 + 12t5 + t = -4 x = -4 + 48 + 12t5 - t x = -20 + 48 + 12t - 5t5 x = 28 + 7t5 na Equação 1 para encontrar :
Multiplicando e simplificando:

Resposta

O sistema possui infinitas soluções dadas por:
x = dfrac28 + 7t5 y = dfrac16 + 4t5 z = t onde t é um número real qualquer éú

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