Em cada item, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. Cada vetor em R^n tem norma positiva.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado diz: “Cada vetor em R^n tem norma positiva.” Nosso objetivo é descobrir se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos precisar entender o que é norma de um vetor e quais são suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a norma de um vetor. Em matemática, a norma de um vetor é uma medida do seu tamanho ou comprimento. Mais formalmente, para um vetor v = (v1, v2, dots, vn) em R^n, a norma mais comum é a norma Euclidiana, definida por:
|v| = raizv1^2 + v2^2 + dots + vn^2
Essa fórmula calcula a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes do vetor.

Passo 3

Agora, vamos analisar as propriedades dessa norma. Uma propriedade importante da norma é que ela é sempre não negativa, ou seja, |v| >= 0 para qualquer vetor v em R^n. Além disso, a norma é positiva se, e somente se, o vetor não for o vetor nulo.

Passo 4

Então, o que acontece com o vetor nulo? O vetor nulo em R^n é aquele em que todas as suas componentes são zero, ou seja, 0 = (0, 0, dots, 0). Calculando a norma desse vetor:
|0| = raiz0^2 + 0^2 + dots + 0^2 = raiz0 = 0
Portanto, a norma do vetor nulo é exatamente zero, não sendo positiva.

Resposta

A afirmação é falsa. Embora a norma de qualquer vetor não nulo em R^n seja positiva, o vetor nulo possui norma igual a zero, o que contraria a afirmação de que todos os vetores têm norma positiva.

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