Em cada item, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. Cada vetor em
tem norma positiva.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado diz: “Cada vetor em
tem norma positiva.” Nosso objetivo é descobrir se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos precisar entender o que é norma de um vetor e quais são suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a norma de um vetor. Em matemática, a norma de um vetor é uma medida do seu tamanho ou comprimento. Mais formalmente, para um vetor
em
, a norma mais comum é a norma Euclidiana, definida por:
Essa fórmula calcula a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes do vetor.
Passo 3
Agora, vamos analisar as propriedades dessa norma. Uma propriedade importante da norma é que ela é sempre não negativa, ou seja,
para qualquer vetor
em
. Além disso, a norma é positiva se, e somente se, o vetor não for o vetor nulo.
Passo 4
Então, o que acontece com o vetor nulo? O vetor nulo em
é aquele em que todas as suas componentes são zero, ou seja,
. Calculando a norma desse vetor:
Portanto, a norma do vetor nulo é exatamente zero, não sendo positiva.
Resposta
A afirmação é falsa. Embora a norma de qualquer vetor não nulo em
seja positiva, o vetor nulo possui norma igual a zero, o que contraria a afirmação de que todos os vetores têm norma positiva.
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Prove que se
é uma matriz triangular superior ou inferior, então os autovalores de
são os elementos da diagonal principal de
.
Seja
uma matriz
cujo polinômio característico é
Prove que se
é não singular, então
Sejam
um
-espaço vetorial e
um operador linear. Prove que se
, então
tem no máximo
autovetores.