Seja uma matriz cujo polinômio característico é
Prove que se é não singular, então

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos dá uma matriz quadrada de ordem e seu polinômio característico:
Nos pedem para provar que, se não for singular (ou seja, se tiver inversa), então:
Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Cayley-Hamilton, que afirma que toda matriz quadrada satisfaz o seu próprio polinômio característico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio característico de uma matriz. É um polinômio obtido a partir da matriz que nos ajuda a entender propriedades como os valores próprios (ou autovalores) da matriz. O Teorema de Cayley-Hamilton diz que se substituirmos a matriz no lugar de no polinômio característico, o resultado será a matriz nula:
Aqui, é a matriz identidade de ordem .

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar uma expressão para . Se é não singular, então não pode ser zero, porque, pelo Teorema de Cayley-Hamilton, , e se for invertível, .

Passo 4

Vamos partir da equação do Teorema de Cayley-Hamilton:
Podemos rearranjar essa equação para isolar :

Passo 5

Agora, queremos expressar em termos das potências de . Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação por :
Simplificando cada termo:
Então, temos:

Passo 6

Agora, queremos isolar . Vamos rearranjar a equação:
Dividindo ambos os lados por (que não é zero), obtemos:

Resposta

Portanto, provamos que se é uma matriz não singular com polinômio característico , então sua inversa é dada por:

Exercícios relacionados

Determine se a expressão faz sentido matemático. Se não fizer, explique.
Prove que se é uma matriz quadrada cujas colunas somam 1 , então é um autovalor de . (Dica: considere e o vetor cujas coordenadas são todas iguais a 1 , e use o Exercício 9.)
Prove que se é uma matriz triangular superior ou inferior, então os autovalores de são os elementos da diagonal principal de .
Em cada item, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. Cada vetor em tem norma positiva.