Seja
uma matriz
cujo polinômio característico é
Prove que se
é não singular, então
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos dá uma matriz quadrada
de ordem
e seu polinômio característico:
Nos pedem para provar que, se
não for singular (ou seja, se
tiver inversa), então:
Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Cayley-Hamilton, que afirma que toda matriz quadrada satisfaz o seu próprio polinômio característico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio característico de uma matriz. É um polinômio obtido a partir da matriz
que nos ajuda a entender propriedades como os valores próprios (ou autovalores) da matriz. O Teorema de Cayley-Hamilton diz que se substituirmos a matriz
no lugar de
no polinômio característico, o resultado será a matriz nula:
Aqui,
é a matriz identidade de ordem
.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar uma expressão para
. Se
é não singular, então
não pode ser zero, porque, pelo Teorema de Cayley-Hamilton,
, e se
for invertível,
.
Passo 4
Vamos partir da equação do Teorema de Cayley-Hamilton:
Podemos rearranjar essa equação para isolar
:
Passo 5
Agora, queremos expressar
em termos das potências de
. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
:
Simplificando cada termo:
Então, temos:
Passo 6
Agora, queremos isolar
. Vamos rearranjar a equação:
Dividindo ambos os lados por
(que não é zero), obtemos:
Resposta
Portanto, provamos que se
é uma matriz não singular com polinômio característico
, então sua inversa é dada por:
Exercícios relacionados
Determine se a expressão faz sentido matemático. Se não fizer, explique.
Prove que se
é uma matriz quadrada cujas colunas somam 1 , então
é um autovalor de
. (Dica: considere
e o vetor
cujas coordenadas são todas iguais a 1 , e use o Exercício 9.)
Prove que se
é uma matriz triangular superior ou inferior, então os autovalores de
são os elementos da diagonal principal de
.
Em cada item, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. Cada vetor em
tem norma positiva.