Seja A uma matriz n times n cujo polinômio característico é
p(lambda)=lambda^n+an-1 lambda^n-1+cdots+a1 lambda+a0
Prove que se A é não singular, então
A^-1=-1a0(A^n-1+an-1 A^n-2+cdots+a1 I)

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos dá uma matriz quadrada p(lambda) = lambda^n + an-1 lambda^n-1 + cdots + a1 lambda + a0 de ordem A^-1 = -1a0 ( A^n-1 + an-1 A^n-2 + cdots + a1 I ) e seu polinômio característico:
Nos pedem para provar que, se não for singular (ou seja, se tiver inversa), então:
Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Cayley-Hamilton, que afirma que toda matriz quadrada satisfaz o seu próprio polinômio característico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio característico de uma matriz. É um polinômio obtido a partir da matriz p(A) = A^n + an-1 A^n-1 + cdots + a1 A + a0 I = 0 que nos ajuda a entender propriedades como os valores próprios (ou autovalores) da matriz. O Teorema de Cayley-Hamilton diz que se substituirmos a matriz no lugar de no polinômio característico, o resultado será a matriz nula:
Aqui, é a matriz identidade de ordem .

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar uma expressão para . Se é não singular, então não pode ser zero, porque, pelo Teorema de Cayley-Hamilton, , e se for invertível, .

Passo 4

Vamos partir da equação do Teorema de Cayley-Hamilton:
A^n + an-1 A^n-1 + cdots + a1 A + a0 I = 0
Podemos rearranjar essa equação para isolar A^n = -an-1 A^n-1 - cdots - a1 A - a0 I :

Passo 5

Agora, queremos expressar A^n A^-1 = -an-1 A^n-1 A^-1 - cdots - a1 A A^-1 - a0 I A^-1 em termos das potências de A^n-1 = -an-1 A^n-2 - cdots - a1 I - a0 A^-1 . Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação por :
Simplificando cada termo:
Então, temos:

Passo 6

Agora, queremos isolar a0 A^-1 = - ( A^n-1 + an-1 A^n-2 + cdots + a1 I ) . Vamos rearranjar a equação:
A^-1 = -1a0 ( A^n-1 + an-1 A^n-2 + cdots + a1 I )
Dividindo ambos os lados por (que não é zero), obtemos:

Resposta

Portanto, provamos que se A^-1 = -1a0 ( A^n-1 + an-1 A^n-2 + cdots + a1 I ) é uma matriz não singular com polinômio característico , então sua inversa é dada por:

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