Prove que se é uma matriz triangular superior ou inferior, então os autovalores de são os elementos da diagonal principal de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que se é uma matriz triangular superior ou inferior, então os autovalores de são os elementos da diagonal principal de . Vamos trabalhar com conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes triangulares e autovalores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são autovalores e como eles se relacionam com a matriz triangular.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um autovalor. Dado uma matriz quadrada , um número é chamado de autovalor de se existir um vetor não nulo tal que:
Isso significa que, ao multiplicar a matriz pelo vetor , o resultado é o vetor escalado por .

Passo 3

Agora, vamos considerar a matriz triangular. Uma matriz triangular superior é aquela onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Já uma matriz triangular inferior tem todos os elementos acima da diagonal principal iguais a zero. Essas propriedades facilitam nossos cálculos porque a diagonal principal tem um papel especial nessas matrizes.

Passo 4

Para encontrar os autovalores de , precisamos resolver a equação característica:
onde é a matriz identidade do mesmo tamanho que , e representa o determinante da matriz.

Passo 5

Vamos calcular . Como é triangular (superior ou inferior), também será triangular do mesmo tipo. Subtraindo na diagonal principal de , teremos que a nova matriz também será triangular, e seus elementos diagonais serão , onde são os elementos da diagonal principal de .

Passo 6

O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Assim:
Para que o determinante seja zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero. Portanto, cada , o que implica que .

Passo 7

Isso mostra que os autovalores são exatamente os elementos da diagonal principal de . Ou seja, as únicas soluções para a equação característica são os valores .

Resposta

Portanto, comprovamos que se é uma matriz triangular superior ou inferior, os autovalores de são os elementos da sua diagonal principal.

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