Prove que se
é uma matriz triangular superior ou inferior, então os autovalores de
são os elementos da diagonal principal de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que se
é uma matriz triangular superior ou inferior, então os autovalores de
são os elementos da diagonal principal de
. Vamos trabalhar com conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes triangulares e autovalores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são autovalores e como eles se relacionam com a matriz triangular.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um autovalor. Dado uma matriz quadrada
, um número
é chamado de autovalor de
se existir um vetor não nulo
tal que:
Isso significa que, ao multiplicar a matriz
pelo vetor
, o resultado é o vetor
escalado por
.
Passo 3
Agora, vamos considerar a matriz triangular. Uma matriz triangular superior é aquela onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Já uma matriz triangular inferior tem todos os elementos acima da diagonal principal iguais a zero. Essas propriedades facilitam nossos cálculos porque a diagonal principal tem um papel especial nessas matrizes.
Passo 4
Para encontrar os autovalores de
, precisamos resolver a equação característica:
onde
é a matriz identidade do mesmo tamanho que
, e
representa o determinante da matriz.
Passo 5
Vamos calcular
. Como
é triangular (superior ou inferior),
também será triangular do mesmo tipo. Subtraindo
na diagonal principal de
, teremos que a nova matriz
também será triangular, e seus elementos diagonais serão
, onde
são os elementos da diagonal principal de
.
Passo 6
O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Assim:
Para que o determinante seja zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero. Portanto, cada
, o que implica que
.
Passo 7
Isso mostra que os autovalores
são exatamente os elementos da diagonal principal de
. Ou seja, as únicas soluções para a equação característica são os valores
.
Resposta
Portanto, comprovamos que se
é uma matriz triangular superior ou inferior, os autovalores de
são os elementos da sua diagonal principal.
Exercícios relacionados
Seja
uma matriz
cujo polinômio característico é
Prove que se
é não singular, então
Determine se a expressão faz sentido matemático. Se não fizer, explique.
Em cada item, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. Cada vetor em
tem norma positiva.