Sejam
um
-espaço vetorial e
um operador linear. Prove que se
, então
tem no máximo
autovetores.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem um espaço vetorial
sobre um corpo
e um operador linear
. O enunciado diz que a dimensão da imagem de
é
(
). Precisamos provar que
tem no máximo
autovetores. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de espaço vetorial, operadores lineares, imagem de um operador e autovetores (ou eigenvetores).
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a imagem de um operador linear. A imagem de
, denotada por
, é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como
para algum
. A dimensão da imagem,
, nos diz quantas “direções” independentes existem na imagem de
.
Passo 3
Agora, sobre autovetores: um vetor
em
é chamado de autovetor de
se existe um escalar
em
tal que
. Esse
é chamado de autovalor correspondente ao autovetor
.
Passo 4
Vamos pensar sobre quantos autovalores distintos
pode ter. Cada autovalor
corresponde a um subespaço próprio
. Esse subespaço é parte da imagem de
, então sua dimensão não pode exceder
.
Passo 5
Se
tem autovalores distintos, cada um fornece uma direção independente (um autovetor). Como a dimensão da imagem é
, o número máximo de direções independentes que
pode ter é
. Além disso, pode haver um autovetor associado a zero, que não está necessariamente na imagem de
.
Passo 6
Portanto, somando os
possíveis autovetores na imagem de
mais um possível autovetor fora da imagem (associado a zero), temos no máximo
autovetores.
Resposta
Assim, provamos que se
, então
tem no máximo
autovetores.
Exercícios relacionados
Em cada item, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. Cada vetor em
tem norma positiva.
Em cada item, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. Em
, os vetores de norma 5 cujo ponto inicial esteja na origem têm ponto final num círculo de raio 5 centrado na origem.
Prove que uma matriz quadrada
e sua transposta
têm os mesmos autovalores. O que se pode afirmar sobre os autovetores associados de
e de
?