Sejam um -espaço vetorial e um operador linear. Prove que se , então tem no máximo autovetores.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um espaço vetorial sobre um corpo e um operador linear . O enunciado diz que a dimensão da imagem de é ( ). Precisamos provar que tem no máximo autovetores. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de espaço vetorial, operadores lineares, imagem de um operador e autovetores (ou eigenvetores).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a imagem de um operador linear. A imagem de , denotada por , é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como para algum . A dimensão da imagem, , nos diz quantas “direções” independentes existem na imagem de .

Passo 3

Agora, sobre autovetores: um vetor em é chamado de autovetor de se existe um escalar em tal que . Esse é chamado de autovalor correspondente ao autovetor .

Passo 4

Vamos pensar sobre quantos autovalores distintos pode ter. Cada autovalor corresponde a um subespaço próprio . Esse subespaço é parte da imagem de , então sua dimensão não pode exceder .

Passo 5

Se tem autovalores distintos, cada um fornece uma direção independente (um autovetor). Como a dimensão da imagem é , o número máximo de direções independentes que pode ter é . Além disso, pode haver um autovetor associado a zero, que não está necessariamente na imagem de .

Passo 6

Portanto, somando os possíveis autovetores na imagem de mais um possível autovetor fora da imagem (associado a zero), temos no máximo autovetores.

Resposta

Assim, provamos que se , então tem no máximo autovetores.

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