Em cada item, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. Em
, os vetores de norma 5 cujo ponto inicial esteja na origem têm ponto final num círculo de raio 5 centrado na origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está perguntando é se todos os vetores em três dimensões (
) que têm comprimento (ou norma) igual a 5 e começam na origem acabam seus pontos em um círculo de raio 5 centrado na origem. Basicamente, precisamos usar conceitos de vetores, norma e geometria no espaço tridimensional para verificar se essa afirmação é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a norma de um vetor. A norma de um vetor
em
é calculada pela fórmula:
No nosso caso, a norma é igual a 5, então:
Passo 3
Agora, vamos pensar em que conjunto de pontos satisfaz essa equação. A equação
descreve todos os pontos que estão a uma distância de 5 unidades da origem. Geometricamente, em três dimensões, esse conjunto de pontos forma uma esfera com raio 5 e centrada na origem.
Passo 4
A afirmação da questão fala sobre um “círculo” de raio 5, mas em
, o conjunto de todos os pontos a uma distância fixa da origem forma uma esfera, não apenas um c��rculo. Um círculo de raio 5 existiria em um plano específico, como o plano
, mas os vetores podem apontar em qualquer direção no espaço tridimensional.
Resposta
Falsa, porque em
, os vetores de norma 5 com ponto inicial na origem formam uma esfera de raio 5, não apenas um círculo.
Exercícios relacionados
Sejam
um
-espaço vetorial e
um operador linear. Prove que se
, então
tem no máximo
autovetores.
Prove que uma matriz quadrada
e sua transposta
têm os mesmos autovalores. O que se pode afirmar sobre os autovetores associados de
e de
?
Descreva o espaço-coluna e o espaço nulo das seguintes matrizes: